Generic determinantal singularities: homological properties of the module of derivations
Es sei \(K\) ein Körper, \((X^i_u)\) eine \((m,n)\)-Matrix von Unbestimmten über \(K\) und \(r\) eine ganze Zahl, derart daß \(1\leq r< m\leq n\) ist. \(P\) sei die Lokalisierung von \(K[X^i_u: 1\leq i\leq m,\ 1\leq u\leq n]\) nach dem irrelevanten maximalen Ideal, \(R\) der Restklassenring von \(P\) nach dem von allen \((r+1)\)-Minoren der Matrix \((X^i_u)\) erzeugten Ideal. \(D\) bezeichne den Differentialmodul von \(R\) über \(K\), \(D^*\) sein \(R\)-Dual \(\Hom_R(D,R)\). In der Arbeit wird zunächst die Tiefe von \(D^*\) berechnet: Bei \(m=n\) ist \(\operatorname{Tiefe} D^*=\dim R-1\), und bei \(m<n\) ist \(D^*\) ein Cohen-Macaulay-Modul. Hieraus ergibt sich das folgende Resultat von \textit{T. Svanes} [``Coherent cohomology on flag manifolds and rigidity'', Ph. D. Thesis (MIT, Cambridge Mass. 1972), 6.8.1]: Es ist \(\operatorname{Ext}^i_R(D,R)=0\) für \(i=1,\ldots,2(m-r-1)\) im Falle \(m=n\) und für \(i=1,\ldots,m+n-2r-1\) im Falle \(m\neq n\). Dabei sind die angegebenen Grenzen für das Verschwinden von \(\operatorname{Ext}^i_ R(D,R)\) in den Fällen \(m\neq n-1\) scharf. Bei \(r+1=m=n-1\) gilt \(\operatorname{Ext}^i_R(D,R)=0\) für \(i=1,\ldots,5\), \(\operatorname{Ext}^6_ R(D,R)\neq 0,\) und bei \(r+1<m=n-1\) hat man \(\operatorname{Ext}^i_R(D,R)=0\) für \(i=1,\ldots,2(m- r+1)\), \(\operatorname{Ext}_R^{2(m-r)+3}(D,R)\neq 0\). Die beschriebenen Ergebnisse benutzen ganz wesentlich die Untersuchungen über Hodge-Algebren von \textit{C. de Concini}, \textit{D. Eisenbud} und \textit{C. Procesi} [Astérisque 91, 87 p. (1982; Zbl 0509.13026)]. Der letzte Abschnitt enthält als Anwendung und in Anlehnung an Resultate von \textit{R. O. Buchweitz} [''Déformations de diagrammes, déploiements et singularités très rigides, liaisons algébriques'' (Thèse, Paris 1981)] eine in gewissem Sinne komplette Beschreibung der Starrheit von \(R\).
scientific article; zbMATH DE number 3851279