Caractères unipotents de \({}^ 3D_ 4({\mathbb{F}}_ q)\)
Le système de racines \(D_ 4\) est formé des \(\pm e_ i\pm e_ j\), \(1\leq i\leq j<4\) dans \({\mathbb{R}}^ 4\); c'est le seul qui présente un groupe de symétries extérieures d'ordre plus grand que 2, à savoir le groupe symétrique de degré 3. En particulier, il y a une forme du groupe simple de type \(D_ 4\) que n'est pas deployée sur le corps fini \({\mathbb{F}}_ q\) mais qui l'est sur son extension cubique. Dans cet article, l'auteur détermine les caractères unipotents et les fonctions de Green de ce groupe fini, étape décisive pour la table des caractères. Les caractères unipotents sont ceux qui apparaissent dans la décomposition des représentations \(R^ 1_ T\) construites par \textit{P. Deligne} et \textit{G. Lusztig} [Ann. Math., II. Ser. 103, 103- 161 (1976; Zbl 0336.20029)] pour chaque classe de conjugaison de tores maximaux définis sur \({\mathbb{F}}_ q\); les fonctions de Green sont les restrictions des \(R^ 1_ T\) aux éléments unipotents. La décomposition de \(R^ 1_ T\) pour le tore apparaissant dans un sous- groupe de Borel defini sur \({\mathbb{F}}_ q\) contient 6 des 8 caractères unipotents, et correspond aux 6 représentations irréductibles du groupe de Weyl (diédral d'ordre 12); il y a 7 classes de conjugaison de tores maximaux définis sur \({\mathbb{F}}_ q\), ce qui rend plus délicat à deceler les deux caractères unipotents manquant. Cet article présente avec beaucoup de soin les methodes et outils nécessaires.
scientific article; zbMATH DE number 3851371