Über das Synthese-Problem für nilpotente Liesche Gruppen
Unter einer Synthese-Menge versteht man eine Teilmenge \({\mathcal X}\) des Strukturraumes einer Banachschen Algebra mit der Eigenschaft, daß es zu \({\mathcal X}\) nur ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, nämlich den Kern \(k({\mathcal X})\), gibt, dessen Hülle gerade \({\mathcal X}\) ist. Insbesondere für \(L^ 1\)-Faltungsalgebren lokalkompakter Abelscher Gruppen ist ausgiebig untersucht worden, welche Teilmengen Synthese-Mengen sind. In der vorliegenden Arbeit wird dieses Problem in modifizierter Form für \(L^ 1\)-Faltungsalgebren nilpotenter Liescher Gruppen studiert. Modifikationen sind deshalb erforderlich, weil Synthese-Mengen im obigen Sinne sehr selten sind; nicht einmal Punkte sind i.a. Synthese-Mengen. Eine Modifikation ist die folgende Frage: (1) Gibt es zu \({\mathcal X}\) eine natürliche Zahl m derart, daß (\(k({\mathcal X})/I)^ m=0\) ist für jedes Ideal I mit Hülle \({\mathcal X}?\) Die Antwort zu (1) ist positiv, falls man für \({\mathcal X}\) die folgende Frage positiv entscheiden kann, welche man daher auch als Modifikation des ursprünglichen Problems ansehen kann. (2) Es sei \(p\) das zu \({\mathcal X}\) gehörige Ideal in der universellen Einhüllenden zu der Lieschen Algebra der gegebenen nilpotenten Gruppe. \({\mathcal S}\) sei der Raum der Schwartzschen Funktionen auf der Gruppe. Liegt dann \(p*{\mathcal S}\) dicht in \(k({\mathcal S})?\) Es wird bewiesen, daß (2) zu bejahen ist, falls \({\mathcal X}\) eine Bahn unter einer Gruppe von spezieller Struktur ist, nämlich eines semidirekten Produktes aus einer kompakten Abelschen Lieschen Gruppe und einer anderen nilpotenten Lieschen Gruppe. Für Bahnen \({\mathcal X}\) kompakter Abelscher Liescher Gruppen wird zusätzlich gezeigt, daß \(p*{\mathcal S}\) in der Schwartzschen Topologie dicht in \({\mathcal S}\cap k({\mathcal X})\) liegt. In diesem Falle läßt sich weiter die topologische Algebra \({\mathcal S}/{\mathcal S}\cap k({\mathcal X})\) explizit beschreiben. All diese Aussagen stellen Verallgemeinerungen der entsprechenden Resultate für einzelne Punkte dar, welche von R. Howe und J. Ludwig erzielt wurden.
scientific article; zbMATH DE number 3851732