Ebenen mit Kongruenz
Verf. geht von einem Inzidenzraum (E,\({\mathfrak G})\) aus, der drei nicht kollineare Punkte enthält, dessen Geraden mit mindestens drei Punkten inzidieren, und der mit einer Kongruenzrelation \(\equiv\) versehen ist (d.h. \(\equiv\) ist eine Äquivalenzrelation auf \(E\times E\) mit (a,b)\(\equiv(b,a)\), (a,a)\(\equiv(b,b)\) für a,\(b\in E\) und (x,y)\(\equiv(c,c)\) impliziert \(x=y)\). Das Tripel (E,\({\mathfrak G},\equiv)\) heißt Ebene mit Kongruenz, wenn gilt: W1) Für a,b,\(c\in E\) kollinear und verschieden und a',b'\(\in E\) mit \((a,b)\equiv(a',b')\) gibt es genau ein c' auf der Verbindungsgeraden \(\overline{a',b'}\) mit \((a,b,c)\equiv(a',b',c').\) W2) Es seien a,b,\(x\in E\) nicht kollinear, a',b',x'\(\in E\), \(c\in \overline{a,b}\), c'\(\in \overline{a',b'}\) mit \((a,b,x)\equiv(a',b',x'), (a,b,c)\equiv(a',b',c'),\) dann ist \((x,c)\equiv(x',c').\) W3) Zu a,b,\(x\in E\) nicht kollinear gibt es genau ein x'\(\in E\backslash \{x\}\) mit \((a,b,x)\equiv(a,b,x').\) Allein aus diesen sehr schwachen Voraussetzungen gelingt es Verf. die folgenden erstaunlichen Resultate zu beweisen: (1) Jede endliche Ebene mit Kongruenz ist eine affine Ebene. (2) Jede affine Ebene mit Kongruenz ist eine euklidische Ebene (d.h. sie läßt sich durch eine separable quadratische Körpererweiterung darstellen). Für Ebenen mit Kongruenz werden Geradenspiegelungen definiert und gezeigt: Für ein Punktbüschel \(\bar d\) gilt der Dreispiegelungssatz, wenn alle Geradenspiegelungen an Geraden durch den Punkt d Bewegungen sind. Jede Geradenspiegelung ist bereits eine Bewegung, sofern die Inzidenzstruktur nur noch der folgenden Bedingung genügt: (E) Zu \(G_ 1,G_ 2\in {\mathfrak G}\) mit \(G_ 1\neq G_ 2 \exists z\in E\backslash(G_ 1\cup G_ 2)\) und \(Z_ 1,Z_ 2\in {\mathfrak G}\) mit \(z\in Z_ 1,Z_ 2\), \(Z_ 1\neq Z_ 2\) und \(Z_ i\cap G_ j\neq \emptyset\) für i,\(j\in \{1,2\}.\) Sodann werden die Fragen untersucht, wann zwei orthogonale Geraden einen Schnitt haben und wann der Dreispiegelungssatz auch für Lotbüschel gilt. Hierzu werden vier weitere Axiome W4-W7 (die im endlichen oder affinen Fall beweisbar sind) hinzugefügt. Dann ist eine Ebene mit Kongruenz mit Methoden der Spiegelungsgeometrie begründbar. Anschließend wird gezeigt, daß diese Zusatzaxiome auch beweisbar sind, wenn man halbgeordnete Ebenen mit Kongruenz betrachtet.
affine planes with a congruence relation
scientific article; zbMATH DE number 3853881