Ebenen mit Kongruenz
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ebenen mit Kongruenz
zbMATH Open document ID: 0537.51019
DOI: 10.1007/BF01230121
published in: Journal of Geometry
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. geht von einem Inzidenzraum (E,\({\mathfrak G})\) aus, der drei nicht kollineare Punkte enthält, dessen Geraden mit mindestens drei Punkten inzidieren, und der mit einer Kongruenzrelation \(\equiv\) versehen ist (d.h. \(\equiv\) ist eine Äquivalenzrelation auf \(E\times E\) mit (a,b)\(\equiv(b,a)\), (a,a)\(\equiv(b,b)\) für a,\(b\in E\) und (x,y)\(\equiv(c,c)\) impliziert \(x=y)\). Das Tripel (E,\({\mathfrak G},\equiv)\) heißt Ebene mit Kongruenz, wenn gilt: W1) Für a,b,\(c\in E\) kollinear und verschieden und a',b'\(\in E\) mit \((a,b)\equiv(a',b')\) gibt es genau ein c' auf der Verbindungsgeraden \(\overline{a',b'}\) mit \((a,b,c)\equiv(a',b',c').\) W2) Es seien a,b,\(x\in E\) nicht kollinear, a',b',x'\(\in E\), \(c\in \overline{a,b}\), c'\(\in \overline{a',b'}\) mit \((a,b,x)\equiv(a',b',x'), (a,b,c)\equiv(a',b',c'),\) dann ist \((x,c)\equiv(x',c').\) W3) Zu a,b,\(x\in E\) nicht kollinear gibt es genau ein x'\(\in E\backslash \{x\}\) mit \((a,b,x)\equiv(a,b,x').\) Allein aus diesen sehr schwachen Voraussetzungen gelingt es Verf. die folgenden erstaunlichen Resultate zu beweisen: (1) Jede endliche Ebene mit Kongruenz ist eine affine Ebene. (2) Jede affine Ebene mit Kongruenz ist eine euklidische Ebene (d.h. sie läßt sich durch eine separable quadratische Körpererweiterung darstellen). Für Ebenen mit Kongruenz werden Geradenspiegelungen definiert und gezeigt: Für ein Punktbüschel \(\bar d\) gilt der Dreispiegelungssatz, wenn alle Geradenspiegelungen an Geraden durch den Punkt d Bewegungen sind. Jede Geradenspiegelung ist bereits eine Bewegung, sofern die Inzidenzstruktur nur noch der folgenden Bedingung genügt: (E) Zu \(G_ 1,G_ 2\in {\mathfrak G}\) mit \(G_ 1\neq G_ 2 \exists z\in E\backslash(G_ 1\cup G_ 2)\) und \(Z_ 1,Z_ 2\in {\mathfrak G}\) mit \(z\in Z_ 1,Z_ 2\), \(Z_ 1\neq Z_ 2\) und \(Z_ i\cap G_ j\neq \emptyset\) für i,\(j\in \{1,2\}.\) Sodann werden die Fragen untersucht, wann zwei orthogonale Geraden einen Schnitt haben und wann der Dreispiegelungssa…
Mathematics Subject Classification ID: 51F20
Mathematics Subject Classification ID: 51G05
zbMATH DE Number: 3853881
zbMATH Keywords: affine planes with a congruence relation
zbMATH Keywords: congruence axioms
zbMATH Keywords: reflection geometry
author: Kay Soerensen
reviewed by: Helmut Karzel
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5667677
cites work: The Fundamental Theorems of Elementary Geometry. An Axiomatic Analysis
cites work: Fanosche metrische affine Ebenen
cites work: Zur Begründung metrischer affiner Ebenen
cites work: Metrische affine Ebenen
cites work: Q5662517
cites work: Pseudo-Euklidische Ebenen und Euklidische Räume
cites work: Q4084875
cites work: Metrische Relationen in affinen Ebenen
cites work: Kennzeichnung verallgemeinerter euklidischer Ebenen durch Ähnlichkeitsrelationen
cites work: Eine Winkelmetrik zur Begründung euklidisch-metrischer Ebenen
cites work: Finite Incidence Structures with Orthogonality
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01230121
OpenAlex ID: W2316804047
description: scientific article; zbMATH DE number 3853881