On the Picard group of polynomial rings
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the Picard group of polynomial rings
zbMATH Open document ID: 0538.13005
DOI: 10.1016/0021-8693(84)90073-5
author: Friedrich Ischebeck
published in: Journal of Algebra
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Mit \(N_ rPic A\) sei für einen kommutativen Ring A der Kokern der kanonischen Abbildung Pic \(A\to Pic(A[X_ 1,...,X_ r])\) bezeichnet. Sei \(A\subset B\) eine Erweiterung reduzierter kommutativer Ringe, \(^+_ BA\) der seminormale Abschluß von A in B und p eine Primzahl oder \(p=\infty\). Gezeigt wird: Die Gruppe \(\ker [N_ r Pic A\to N_ r Pic B]\) besitzt genau dann ein Element der Ordnung p, wenn dies für die (additive) Gruppe \(^+_ BA/A\) gilt. Im absoluten Fall, d.h. wenn B seminormal ist, kann diese Aussage direkt aus den Ergebnissen der Arbeit ''On seminormality'' von \textit{R. G. Swan} [J. Algebra 67, 210-229 (1980; Zbl 0473.13001)] abgeleitet werden. Man braucht nur noch die Tatsache zu verwenden, daß A in B p-seminormal genau dann ist, wenn \(^+_ BA/A\) keine p-Torsion hat (vgl. Proposition 2).
Mathematics Subject Classification ID: 13F20
Mathematics Subject Classification ID: 14C22
Mathematics Subject Classification ID: 13D15
Mathematics Subject Classification ID: 13B02
zbMATH DE Number: 3855255
zbMATH Keywords: Picard groups of ring extensions
zbMATH Keywords: seminormal closure
zbMATH Keywords: polynomial rings
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0021-8693(84)90073-5
OpenAlex ID: W2089440822
cites work: Q4053793
cites work: On seminormality
cites work: Q5605674
description: scientific article; zbMATH DE number 3855255