Clifford algebra to geometric calculus. A unified language for mathematics and physics
Ce livre est certainement original et curieux. Il est bien connu qu'il existe un isomorphisme (non unique!) d'espaces vectoriels entre l'algèbre extérieure \(\Lambda(E_ n)\) d'un espace vectoriel \(E_ n\) de dimension n, et une algèbre de Clifford \(C(E_ n,Q_ n)\) attachée au même espace, mais ces deux algèbres sont en général non isomorphes, la deuxième constituant une déformation de la première. La méthode, a priori paradoxale, utilisée par les auteurs, consiste à ne considérer que la représentation du groupe linéaire de E dans son algèbre extérieure qui se trouve munie d'une nouvelle structure multiplicative. Si on note par un blanc la multiplication dans \(C(E_ n,Q_ n)\), par i l'isomorphisme linéaire de \(\Lambda(E_ n)\) sur \(C(E_ n,Q_ n)\), la loi de composition \(\bigvee\) introduite dans \(\Lambda(E_ n)\) est définie par: \(u\bigvee v=i^{-1}(i(u)i(v)).\) Les axioms donnés au chapitre 1, qui est le chapitre essentiel du livre, sont en fait le catalogue des formules usuelles pour une algèbre \({\mathcal G}\) qui serait la limite inductive d'une famille d'algèbres de Clifford réelles \(C(E_ n,Q_ n)\), \(n\to +\infty\), \(Q_ n\) définie positive. Il va sans dire que la cohérence de ce système d'axiomes ne repose que sur la connaissance antérieure de la théorie classique usuelle des algèbres de Clifford. Les signatures (p,q) quelconques \((p+q=n)\), doivent s'étudier dans un cadre légèrement différent. Le paradoxe consiste à étudier une algèbre attachée à \(E_ n\) sans introduire la représentation naturelle du groupe \(GL(E_ n)\) dans cette algèbre. Il en résultera une situation ambiguë particulièrement accusée pour les problèmes d'analyse sur les variétés, pour les fibrations, les connexions, les spineurs et structures spinorielles (défaut de ''fonctorialité''). Le livre est plutôt une collection de formules, dont la plus significative peut se traduire avec les notations de ce rapport par: \(a\bigvee A=a.A+a\bigwedge A\), \(a\in E_ n\), \(A\in \Lambda^ r(E_ n)\) rejoignant ainsi les théories dites ''de Kähler-Atiyah'' dont certains développements ont fait long feu en physique mathématique et géométrie différentielle. Le chapitre 2 introduit la différentiation, la maîtresse formule étant, en correspondance directe avec la précédente: \(\partial F=\partial.F+\partial \bigwedge F\), en somme d'une ''divergence'' et d'un ''curl''. Le chapitre 3 contient la définition du groupe de Clifford à partir de ses générateurs vectoriels (on récupère le cadre classique), mais la définition des spineurs est complètement inusuelle: un élément pair \(\psi\) de l'algèbre de Clifford est un spineur si \(\psi x\psi^+\) est un vecteur lorsque x est lui-même un vecteur \((\psi \to \psi^+\) est l'anti-involution usuelle). Cette terminologie semble venir du souci des auteurs de considérer que les éléments des groupes dit spinoriels, sont des ''spineurs''. Nous sommes loin de la belle et profonde conception classique de Cartan-Chevalley. Sans nous arrêter à des technicités nous venons au chapitre 4 où l'on introduit des variétés vectorielles (''vector manifolds''). Leur définition nous a paru obscure: ''a vector manifold \({\mathcal M}\) is a set of vectors called points of \({\mathcal M}\) with certain properties to be described presently''. De fait cette ''définition'' procède d'analogies heuristiques qui cependant réussissent, bien qu'elles soient insuffisamment justifiées. On y trouve toujours la maîtresse formule \(\nabla A=\nabla.A+\nabla \bigwedge A.\) Le chapitre 5 développe la ''géométrie différentielle de ces variétés vectorielles'', toujours selon la méthode d'analogie heuristique, cela se poursuivra au chapitre 7 avec une théorie de l'intégration et enfin au chapitre 8 avec la théorie des groupes de Lie. Cette méthode d'analogie conduit certes aux résultats classiques déjà bien connus par des voies nouvelles et originales, mais le lecteur devra se contenter plutôt d'un ''credo'' que de raisonnements bien construits et de rigueur. Il nous paraît que la partie purement algébrique, malgré son aspect un peu acrobatique, présente des mérites d'ingéniosité et d'imagination. Il faudrait certainement améliorer tout ce qui concerne la géométrie différentielle, mais là nous verrions certainement réapparaître les difficultés liées à la méthode elle- même, qui néglige les représentations du groupe linéaire de \(E_ n\) dans son algèbre de Clifford. D'autre part il semble maintenant inconcevable de ne pas envisager des espaces de spineurs, comme espaces de représentations irréductibles d'algèbres de Clifford, cette ''voie royale'', si fertile en résultat, qui s'adapte au cas symplectique et que nous devons principalement aux travaux de E. Cartan et de Chevalley; mais probablement cette conception s'adapterait-elle mal au point de vue des auteurs, en raison du rôle des représentations régulières des algèbres de Clifford.
scientific article; zbMATH DE number 3859947