Clifford algebra to geometric calculus. A unified language for mathematics and physics
type: Item
instance of: scholarly article
title: Clifford algebra to geometric calculus. A unified language for mathematics and physics
zbMATH Open document ID: 0541.53059
author: David Hestenes
author: Garret Sobczyk
published in: Fundamental Theories of Physics
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Ce livre est certainement original et curieux. Il est bien connu qu'il existe un isomorphisme (non unique!) d'espaces vectoriels entre l'algèbre extérieure \(\Lambda(E_ n)\) d'un espace vectoriel \(E_ n\) de dimension n, et une algèbre de Clifford \(C(E_ n,Q_ n)\) attachée au même espace, mais ces deux algèbres sont en général non isomorphes, la deuxième constituant une déformation de la première. La méthode, a priori paradoxale, utilisée par les auteurs, consiste à ne considérer que la représentation du groupe linéaire de E dans son algèbre extérieure qui se trouve munie d'une nouvelle structure multiplicative. Si on note par un blanc la multiplication dans \(C(E_ n,Q_ n)\), par i l'isomorphisme linéaire de \(\Lambda(E_ n)\) sur \(C(E_ n,Q_ n)\), la loi de composition \(\bigvee\) introduite dans \(\Lambda(E_ n)\) est définie par: \(u\bigvee v=i^{-1}(i(u)i(v)).\) Les axioms donnés au chapitre 1, qui est le chapitre essentiel du livre, sont en fait le catalogue des formules usuelles pour une algèbre \({\mathcal G}\) qui serait la limite inductive d'une famille d'algèbres de Clifford réelles \(C(E_ n,Q_ n)\), \(n\to +\infty\), \(Q_ n\) définie positive. Il va sans dire que la cohérence de ce système d'axiomes ne repose que sur la connaissance antérieure de la théorie classique usuelle des algèbres de Clifford. Les signatures (p,q) quelconques \((p+q=n)\), doivent s'étudier dans un cadre légèrement différent. Le paradoxe consiste à étudier une algèbre attachée à \(E_ n\) sans introduire la représentation naturelle du groupe \(GL(E_ n)\) dans cette algèbre. Il en résultera une situation ambiguë particulièrement accusée pour les problèmes d'analyse sur les variétés, pour les fibrations, les connexions, les spineurs et structures spinorielles (défaut de ''fonctorialité''). Le livre est plutôt une collection de formules, dont la plus significative peut se traduire avec les notations de ce rapport par: \(a\bigvee A=a.A+a\bigwedge A\), \(a\in E_ n\), \(A\in \Lambda^ r(E_ n)\…
Mathematics Subject Classification ID: 53C80
Mathematics Subject Classification ID: 16-02
Mathematics Subject Classification ID: 15-02
Mathematics Subject Classification ID: 53-02
Mathematics Subject Classification ID: 17B60
Mathematics Subject Classification ID: 58A05
zbMATH DE Number: 3859947
zbMATH Keywords: Clifford algebras
zbMATH Keywords: geometric algebra
zbMATH Keywords: spinors
zbMATH Keywords: Clifford group
zbMATH Keywords: curl divergence
zbMATH Keywords: vector manifolds
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 3859947