On partitions into at most m parts
Sei \(p_ m(n)\) die Anzahl der Partitionen der natürlichen Zahl n in m nicht-negative Summanden und \(P_ m(n)\) diejenige in m positive Summanden; dann ist \(P_ m(n)=p_ m(n-m)\). Schon \textit{J. J. Sylvester} (1882) und hierauf einfacher, \textit{E. M. Wright} [Math. Ann. 142, 311-316 (1961; Zbl 0100.273)] gaben eine Darstellung \(P_ m(n)=\sum^{m- 1}_{\nu =0}a_{\nu}(m,n) n^{\nu}\) sowie ein Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten \(a_{\nu}(m,n)\). - Verf. behandelt nun dasselbe Problem für die \(p_ m(n)\) und bringt Formeln, bei denen gewisse primitive Einheitswurzeln sowie die Bernoullischen und die Eulerschen Polynome eine Rolle spielen. Schließlich wird eine Kongruenzeigenschaft von gewissen Werten der \(p_ m\)-Funktion gezeigt: Für alle \(n\geq 1\) und \(m\geq 3\) gilt: \(p_ m(n\cdot M_ m)\equiv 1 mod d(n;1,m-2).\) Dabei bedeutet \(M_ m\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 1,2,...,m und d(n;1,m-2) den größten gemeinsamen Teiler der Binomialkoeffizienten \(\left( \begin{matrix} n\\ 1\end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} n\\ 2\end{matrix} \right),...,\left( \begin{matrix} n\\ m-2\end{matrix} \right)\).
scientific article; zbMATH DE number 3859215
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