Hecke-Integrale mit rationalen periodischen Funktionen und Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung
Wir bestimmen die automorphen Integrale mit rationalen periodischen Funktionen des Typs \(R(z)=b_{-m}z^{-m}+\dots+b_ nz^ n\) zu den Hecke-Gruppen \(G(\lambda)\) mit \(\lambda =2 \cos(\pi /q)\), \(q\in\mathbb Z\), \(q\geq 3\). Für den Spezialfall der Modulgruppe \(G(1)\) sind einige der notwendigen Untersuchungen schon von \textit{M. I. Knopp} [Duke Math. J. 45, 47--62 (1978; Zbl 0374.10014) und Glasg. Math. J. 22, 185--197 (1981; Zbl 0459.10017)] durchgeführt worden; für den Spezialfall \(G(\sqrt{p})\), \(p=2\) oder 3, gibt es geringfügige Überschneidungen mit der vorstehend referierten Arbeit von \textit{L. A. Parson} und \textit{K. H. Rosen} [Ill. J. Math. 28, 383--396 (1984; Zbl 0542.10015)]. Wir erhalten darüber hinaus insbesondere eine vollständige Beschreibung des Raumes der betrachteten automorphen Integrale und als Anwendung einfache Rekursionsformeln für zahlentheoretische Funktionen, die mit der Ramanujanschen \(\tau\)-Funktion verwandt sind. Abschließend beweisen wir in Verallgemeinerung des von \textit{E. Hecke} [Math. Ann. 112, 664--699 (1936; Zbl 0014.01601)] erzielten Ergebnisses eine Beziehung zwischen den betrachteten automorphen Integralen und Dirichlet- Reihen mit Funktionalgleichung (für den Spezialfall der Modulgruppe \(G(1)\) vergleiche wieder die oben zitierten Arbeiten von M. I. Knopp). Bemerkung: Den zweiten Teil von Satz 4 haben wir leider nur für den bewiesenen Fall \(\nu(U)=1\) formuliert (der einfache Fall \(\nu(U)\neq 1\) ist bei der Formulierung vergessen worden). Vollständig muß der zweite Teil von Satz 4 lauten: ``Weiter gilt \({\mathfrak G}_ 0(\lambda,k,\nu)\cong {\mathfrak G}_ 0(\lambda,-k-2,\nu),\) falls \(k\neq 0\) oder \(k=0\), \(\nu(T)=-1\) oder \(\nu(U)\neq 1\); bzw. \({\mathfrak G}_ 0(\lambda,k,\nu)\cong \{\lambda,-2,1\}_ 0\oplus {\mathbb C},\) falls \(k=0\), \(\nu(T)=1\), \(\nu(U)=1\), wobei ein Isomorphismus durch die Einschränkung von \(\psi\) gegeben wird.''
number-theoretic functions related to Ramanujan tau-function
Dirichlet series with functional equation
scientific article; zbMATH DE number 3861248