Topologie und Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten
type: Item
instance of: scholarly article
title: Topologie und Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten
zbMATH Open document ID: 0542.57002
published in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV)
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: In diesem Bericht wird ein historisch orientierter und gut verständlicher Überblick über die Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten gegeben. In {\S} 1 werden verschiedene Präsentationen von 3- Mannigfaltigkeiten erläutert und das Klassifikations- und Homöomorphismusproblem diskutiert. Da Flächentheorie und Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten eng verknüpft sind, wird in {\S} 2 zunächst die Flächentheorie besprochen. Insbesondere wird das Studium der Isotopieklassen von Flächenhomöomorphismen beschrieben, das von Nielsen und Teichmüller initiiert und unter anderem von Zieschang, Kerckoff, Bers und Thurston fortgeführt wurde. In {\S} 3 wird die von Haken entwickelte Theorie der Normalflächen in einer 3-Mannigfaltigkeit skizziert, und nachdem der Sphärensatz, Schleifensatz und das Dehnsche Lemma erklärt werden, wird in {\S} 4 die Beweisidee zu Waldhausens Satz (daß Homotopie-Äquivalenzen zwischen geschlossenen Haken-Mannigfaltigkeiten homotop zu Homöomorphismen sind) angegeben. In {\S} 5 wird die vom Autor entwickelte Theorie der charakteristischen Untermannigfaltigkeiten beschrieben mit Anwendungen auf das Klassifikationsproblem und die Abbildungsklassen. In {\S} 6 wird auf die Arbeiten von Thurston über geometrische Strukturen hingewiesen und werden die neuen Entwicklungen angedeutet, die zur Lösung der Smith-Vermutung führten.
Mathematics Subject Classification ID: 57-02
Mathematics Subject Classification ID: 57N10
Mathematics Subject Classification ID: 57M35
Mathematics Subject Classification ID: 57N05
Mathematics Subject Classification ID: 57R50
Mathematics Subject Classification ID: 51M10
Mathematics Subject Classification ID: 57M05
zbMATH DE Number: 3862041
zbMATH Keywords: representing 3-manifolds
zbMATH Keywords: classification of 3-manifolds
zbMATH Keywords: isotopy classes of surface homeomorphisms
zbMATH Keywords: sphere theorem
zbMATH Keywords: loop theorem
zbMATH Keywords: Dehn's lemma
zbMATH Keywords: Haken-3-manifolds
zbMATH Keywords: characteristic varieties of 3-manifolds
zbMATH Keywords: irreducible 3-manifolds
zbMATH Keywords: mapping class group
zbMATH Keywords: hyperbolic structures on 3-manifolds
zbMATH Keywords: Smith-conjecture
author: Klaus Johannson
reviewed by: Wolfgang Heil
MaRDI profile type: Publication
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description: scientific article; zbMATH DE number 3862041