Remarks on quasinormal rings
type: Item
instance of: scholarly article
title: Remarks on quasinormal rings
zbMATH Open document ID: 0543.13003
DOI: 10.1016/0022-4049(84)90026-4
author: Nobuharu Onoda
author: Ken-ichi Yoshida
published in: Journal of Pure and Applied Algebra
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Für einen kommutativen Ring \(A\) sei \(M \text{Pic }A= \text{Coker}(\text{Pic }A\to \text{Pic }A[X,X^{-1}]).\) Man nennt \(A\) quasinormal, wenn \(M \text{Pic }A=0\) ist. Es gelten bekanntlich die Implikationen: \(A\) normal \(\Rightarrow\) \(A\) quasinormal \(\Rightarrow\) \(A\) seminormal. Während die Normalität und die Seminormalität lokale Eigenschaften sind, gilt zwar: \(A\) lokal quasinormal (d.h. \(A_ p\) quasinormal für alle Primideale \(p\)) \(\Rightarrow\) \(A\) quasinormal, aber die Umkehrung im allgemeinen nicht. Hier wird eine relative Situation betrachtet: Ein Unterring \(A\) eines kommutativen Ringes B heißt quasinormal in \(B\), wenn \(M \text{Pic }A\to M \text{Pic }B\) injektiv ist. Wieder ist die lokale Quasinormalität stärker als die Quasinormalität. A heißt \(u\)-abgeschlossen in \(B\), wenn für alle \(b\in B\) mit \(b^ 2-b\in A\) und \(b^ 3-b^ 2\in A\) auch \(b\in A\) gilt. Es wird gezeigt: Wenn \(A\) ein noetherscher Integritätsring, \(B\) eine birationale integre Erweiterung ist und \(\dim A=1\) gilt: \(A\) quasinormal in \(B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) \(u\)-abgeschlossen und seminormal in \(B\). Wenn \(\dim A\) beliebig, aber sonst die gleichen Voraussetzungen vorliegen, gilt: \(A\) lokal quasinormal in \(B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) lokal \(u\)-abgeschlossen und seminormal in \(B\). Wenn ferner \(n\geq 2\) ist und \(A\) einen Körper umfaßt, der eine nichttriviale \(n\)-te Einheitswurzel enthält, und \(A\) in \(B\) \(n\)-Wurzel-abgeschlossen ist, so ist \(A\) lokal quasinormal in \(B\).
reviewed by: Friedrich Ischebeck
Mathematics Subject Classification ID: 14C22
Mathematics Subject Classification ID: 13D15
Mathematics Subject Classification ID: 13A99
Mathematics Subject Classification ID: 13F20
Mathematics Subject Classification ID: 13F25
zbMATH DE Number: 3863327
zbMATH Keywords: u-closure
zbMATH Keywords: Picard group
zbMATH Keywords: Laurent-polynomials
zbMATH Keywords: quasinormal ring
zbMATH Keywords: seminormal ring
zbMATH Keywords: normal ring
zbMATH Keywords: t-closure
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0022-4049(84)90026-4
OpenAlex ID: W2048926802
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cites work: Q5605674
cites work: Q4745912
description: scientific article; zbMATH DE number 3863327