Remarks on quasinormal rings
Für einen kommutativen Ring \(A\) sei \(M \text{Pic }A= \text{Coker}(\text{Pic }A\to \text{Pic }A[X,X^{-1}]).\) Man nennt \(A\) quasinormal, wenn \(M \text{Pic }A=0\) ist. Es gelten bekanntlich die Implikationen: \(A\) normal \(\Rightarrow\) \(A\) quasinormal \(\Rightarrow\) \(A\) seminormal. Während die Normalität und die Seminormalität lokale Eigenschaften sind, gilt zwar: \(A\) lokal quasinormal (d.h. \(A_ p\) quasinormal für alle Primideale \(p\)) \(\Rightarrow\) \(A\) quasinormal, aber die Umkehrung im allgemeinen nicht. Hier wird eine relative Situation betrachtet: Ein Unterring \(A\) eines kommutativen Ringes B heißt quasinormal in \(B\), wenn \(M \text{Pic }A\to M \text{Pic }B\) injektiv ist. Wieder ist die lokale Quasinormalität stärker als die Quasinormalität. A heißt \(u\)-abgeschlossen in \(B\), wenn für alle \(b\in B\) mit \(b^ 2-b\in A\) und \(b^ 3-b^ 2\in A\) auch \(b\in A\) gilt. Es wird gezeigt: Wenn \(A\) ein noetherscher Integritätsring, \(B\) eine birationale integre Erweiterung ist und \(\dim A=1\) gilt: \(A\) quasinormal in \(B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) \(u\)-abgeschlossen und seminormal in \(B\). Wenn \(\dim A\) beliebig, aber sonst die gleichen Voraussetzungen vorliegen, gilt: \(A\) lokal quasinormal in \(B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) lokal \(u\)-abgeschlossen und seminormal in \(B\). Wenn ferner \(n\geq 2\) ist und \(A\) einen Körper umfaßt, der eine nichttriviale \(n\)-te Einheitswurzel enthält, und \(A\) in \(B\) \(n\)-Wurzel-abgeschlossen ist, so ist \(A\) lokal quasinormal in \(B\).
scientific article; zbMATH DE number 3863327