Der Satz des Pythagoras in pappusschen Ebenen
Bei einer affinen Ebene über einem (kommutativen) Körper K wird eine Abbildung \(\phi\) der Menge aller nichtkollinearen Punktetripel \(\Delta =(a,b,c)\) in die multiplikative Gruppe von K als orientierter Flächeninhalt bezeichnet, wenn es zu jeder affinen Abbildung \(\alpha\) einen Faktor a mit \(\phi(\Delta^{\alpha})=a\phi(\Delta)\) (für alle \(\Delta)\) gibt und \(\phi(a,b,c)=\phi(a,d,c)+\phi(d,b,c)\) für alle \(d\neq a,b\) auf der Verbindungsgeraden ab gilt. In üblicher Weise wird \(\phi\) auf k-tupel von Punkten ausgedehnt, insb. auf Parallelogramme, und damit dann eine affine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras bewiesen: Sind a,b,c nichtkollinear, \(\Pi =(a,c,d',A'), \Pi '=(c,b,cb',c''), \Pi ''=(a,b,b'',a'')\) Parallelogramme mit a''\(\in a'c'\), b''\(\in b'c''\) und \(cd\| aa''(\| bb'')\) für \(d\in a'c',b'c'',\) so gilt \(\phi(\Pi '')=\phi(\Pi)+\phi(\Pi ')\). Bei angeordnetem K wird das entsprechende für die sogenannten elementaren Flächeninhalte gezeigt, bei denen die Werte positiv sind und die Additivitätsforderung durch eine die Anordnung auf \textit{ab} berücksichtigende Forderung ersetzt ist.
scientific article; zbMATH DE number 3863966