On some Gronwall-type integral inequalities in \(n\) independent variables
Es werden obere Schranken für Funktionen \(u:{\mathbb{R}}^ n\to {\mathbb{R}}\) aufgestellt, die gewissen Integralungleichungen von der Form \[ u(x)\leq f(x)+\int^{x}_{a}K(x,t)u(t)dt+g(x)G(\int^{x}_{a}h(t)Q(u(t))dt)\quad(x=(x_ 1,...,x_ n)) \] genügen. In zwei Abschnitten wird der lineare Fall (g(x)\(\equiv 0)\), d.h. die Volterrasche Ungleichung zunächst mit dem einfachen Kern \(K(x,t):=g(x)h(t)\) und dann mit dem allgemeinen ausgearteten Kern \(K(x,t):=\sum^{m}_{i=1}g_ i(x)h_ i(t)\) behandelt. Die Schranken werden unter sehr schwachen Voraussetzungen gewonnen: u, f, \(g_ i\), \(h_ i\) seien meßbar auf \(I=\{x\in {\mathbb{R}}^ n:a\leq x\leq b\}=C[a,b]\) mit \(fh_ i,g_ ih_ i,uh_ i\in L(I).\) Einschlägige Arbeiten werden kritisch betrachtet und besonders Arbeiten von \textit{U. D. Dhongade} und \textit{S. G. Deo} [J. Math. Anal. Appl. 44, 218-226 (1973; Zbl 0275.45018) und ibid. 45, 615- 628 (1974; Zbl 0271.45001)], sowie von \textit{C.-C. Yeh} [J. Math. Anal. Appl. 87, 311-321 (1982; Zbl 0514.26006); ibid. 90, 583 (1982; Zbl 0514.26007)] berichtigend verbessert. Der letzte Abschnitt bringt nichtlineare Resultate, vor allem im Hinblick auf Korrekturen und Verbesserungen der Yehschen Arbeit. Zunächst wird der einfachere Fall \(K(x,t)\equiv 0\) betrachtet. Bemerkenswert ist, daß Q und F einer Klasse von Funktionen \(p:{\mathbb{R}}^+\to {\mathbb{R}}\) angehören, für welche \(v^{-1}p(u)\leq p(v^{-1}u)\) für \(v\geq 1,u\geq 0\) gilt. Schließlich werden die Ergebnisse auf den Fall mit ausgeartetem Kern K(x,t) ausgedehnt. Die Funktionen f, g, h, u werden als stetig und nichtnegativ auf C[0,\(\infty)\) vorausgesetzt.
Gronwall type integral inequalities in \(n\) independent variables
scientific article; zbMATH DE number 3865623
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