Preordered affine Hjelmslev planes
Verf. nennen eine affine Hjelmslev-Ebene (AH-Ebene) \({\mathfrak H}=(P,{\mathfrak L})\) ''prägeordenet'', wenn auf P wie üblich eine ternäre Relation \(\rho\) erklärt ist, so daß die Einschränkung von \(\rho\) auf jede Gerade \(L\in {\mathfrak L}\) eine Zwischenrelation ist und \(\rho\) bei allen bijektiven Parallelperspektivitäten [\(A\to^{C}B]\) erhalten bleibt. Für A,B,\(C\in {\mathfrak L}\) ist [\(A\to^{C}]\) bijektiv, wenn der Fernpunkt von C weder zu dem Fernpunkt von A noch dem von B benachbart ist. Jede Nachbarschaftsklasse eines Punktes erweist sich als konvex und in der zugehörigen affinen Ebene (\=P,\(\bar {\mathfrak L})\) wird daher eine Anordnung \({\bar \rho}\) im üblichen Sinne induziert. Eine ''prägeordnete'' AH-Ebene (P,\({\mathfrak L},\rho)\) heißt angeordnet, wenn für jede Parallelperspektivität \(\pi =[A\to^{C}B]\) (hier wird nur verlangt: Fernpunkt von C ist nicht benachbart zum Fernpunkt von B) gilt: Für x,y,\(z\in A\) mit (x,y,z)\(\in \rho\) und \(\pi\) (X)\(\neq \pi(Y)\neq \pi(Z)\neq \pi(X)\) gilt (\(\pi\) (X),\(\pi\) (Y),\(\pi\) (Z))\(\in \rho\). Analog zu der Hallschen Koordinatisierung affiner Ebenen durch ternäre Ringe läßt sich jede AH-Ebene \({\mathfrak H}\) durch biternäre Ringe \({\mathfrak M}\) koordinatisieren. Jede Präordnung, \(\rho\) auf \({\mathfrak H}\) induziert in \({\mathfrak M}\) eine totale Ordnungsrelation \(<\), die gewissen Monotoniegesetzen genügt und dann Präordnung von \({\mathfrak M}\) genannt wird. Nach den gleichen Gesichtspunkten, die wir aus der affinen (und projektiven) Geometrie kennen, werden hier für eine AH-Ebene die wechselseitigen Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Präordnung untersucht. Die erzielten Resultate werden mit Ergebnissen von \textit{F. Machala} [Czech. Math. J. 30 (105), 341-356 (1980; Zbl 0459.51011; Cas. Pestovani Mat. 106, 138-155 (1981; Zbl 0475.51003), 269- 278 (1981; Zbl 0476.51004)] über angeordnete Klingenberg-Ebenen verglichen.
scientific article; zbMATH DE number 3868102
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