Preordered affine Hjelmslev planes
type: Item
instance of: scholarly article
title: Preordered affine Hjelmslev planes
zbMATH Open document ID: 0545.51006
DOI: 10.1007/BF01225283
author: Catharine A. Baker
author: Norman D. Lane
author: James A. Laxton
author: J. W. Michael Lorimer
published in: Journal of Geometry
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. nennen eine affine Hjelmslev-Ebene (AH-Ebene) \({\mathfrak H}=(P,{\mathfrak L})\) ''prägeordenet'', wenn auf P wie üblich eine ternäre Relation \(\rho\) erklärt ist, so daß die Einschränkung von \(\rho\) auf jede Gerade \(L\in {\mathfrak L}\) eine Zwischenrelation ist und \(\rho\) bei allen bijektiven Parallelperspektivitäten [\(A\to^{C}B]\) erhalten bleibt. Für A,B,\(C\in {\mathfrak L}\) ist [\(A\to^{C}]\) bijektiv, wenn der Fernpunkt von C weder zu dem Fernpunkt von A noch dem von B benachbart ist. Jede Nachbarschaftsklasse eines Punktes erweist sich als konvex und in der zugehörigen affinen Ebene (\=P,\(\bar {\mathfrak L})\) wird daher eine Anordnung \({\bar \rho}\) im üblichen Sinne induziert. Eine ''prägeordnete'' AH-Ebene (P,\({\mathfrak L},\rho)\) heißt angeordnet, wenn für jede Parallelperspektivität \(\pi =[A\to^{C}B]\) (hier wird nur verlangt: Fernpunkt von C ist nicht benachbart zum Fernpunkt von B) gilt: Für x,y,\(z\in A\) mit (x,y,z)\(\in \rho\) und \(\pi\) (X)\(\neq \pi(Y)\neq \pi(Z)\neq \pi(X)\) gilt (\(\pi\) (X),\(\pi\) (Y),\(\pi\) (Z))\(\in \rho\). Analog zu der Hallschen Koordinatisierung affiner Ebenen durch ternäre Ringe läßt sich jede AH-Ebene \({\mathfrak H}\) durch biternäre Ringe \({\mathfrak M}\) koordinatisieren. Jede Präordnung, \(\rho\) auf \({\mathfrak H}\) induziert in \({\mathfrak M}\) eine totale Ordnungsrelation \(<\), die gewissen Monotoniegesetzen genügt und dann Präordnung von \({\mathfrak M}\) genannt wird. Nach den gleichen Gesichtspunkten, die wir aus der affinen (und projektiven) Geometrie kennen, werden hier für eine AH-Ebene die wechselseitigen Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Präordnung untersucht. Die erzielten Resultate werden mit Ergebnissen von \textit{F. Machala} [Czech. Math. J. 30 (105), 341-356 (1980; Zbl 0459.51011; Cas. Pestovani Mat. 106, 138-155 (1981; Zbl 0475.51003), 269- 278 (1981; Zbl 0476.51004)] über angeordnete Klingenberg-Ebenen verglichen.
Mathematics Subject Classification ID: 51C05
Mathematics Subject Classification ID: 51G05
zbMATH DE Number: 3868102
zbMATH Keywords: preordered affine Hjelmslev plane
zbMATH Keywords: preordered biternary rings
reviewed by: Helmut Karzel
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01225283
OpenAlex ID: W4245846145
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description: scientific article; zbMATH DE number 3868102