Infinite descent and \(p\)-adic heights over elliptic curves with complex multiplication
type: Item
instance of: scholarly article
title: Infinite descent and \(p\)-adic heights over elliptic curves with complex multiplication
zbMATH Open document ID: 0547.14025
DOI: 10.1007/BF01391797
author: Bernadette Perrin-Riou
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/142980
review text: Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer sagt eine Beziehung zwischen der Determinante der Néron-Tate-Höhe einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper und dem Verhalten der \(L\)-Reihe dieser Kurve in \(s=1\) voraus. In der vorliegenden Arbeit wird für elliptische Kurven \(E\) mit komplexer Multiplikation über einem Körper \(F\), die bezüglich einer Stelle \({\mathfrak p}\) des Endomorphismen\-körpers gute ordinäre Reduktion besitzen, ein \({\mathfrak p}\)-adisches Analogon der Néron-Tate-Höhe und deren Verbindungen zu \({\mathfrak p}\)-adischen \(L\)-Reihen untersucht. Dazu wird im ersten Abschnitt die von der Verf. in Compos. Math. 43, 387--417 (1981; Zbl 0479.14019) gegebene Definition der \({\mathfrak p}\)-adischen Höhe dargestellt, die Konstruktion beruht auf der lokalen Néron-Höhe und verwendet \({\mathfrak p}\)-adische Funktionentheorie. Ein algebraischer Zugang wird im dritten Paragraphen geschildert, hier ist ein genaues Studium der \({\mathfrak p}\)-primären Komponente der Selmergruppe von \(E\) entscheidend, wesentliche Hilfsmittel sind Klassenkörpertheorie und die Weilsche Paarung auf Torsionspunkten von \(E\), vorausgesetzt wird, daß für \((F,{\mathfrak p})\) die ''schwache'' Leopoldt-Vermutung richtig ist. Dieser Zugang ermöglicht es, Aussagen über das Verhalten der \({\mathfrak p}\)-adischen Iwasawa-\(L\)-Reihe von \(E\) in \(s=1\) mit Eigenschaften der \({\mathfrak p}\)-adischen Höhenpaarung in Verbindung zu bringen (Théorème, p. 370). Im letzten Abschnitt werden einige Kurven mit \(j=12^ 3\) numerisch untersucht.
Mathematics Subject Classification ID: 11G40
Mathematics Subject Classification ID: 11G07
Mathematics Subject Classification ID: 11G15
Mathematics Subject Classification ID: 11G50
Mathematics Subject Classification ID: 14K22
Mathematics Subject Classification ID: 14G10
Mathematics Subject Classification ID: 14G20
Mathematics Subject Classification ID: 14G40
Mathematics Subject Classification ID: 14K15
Mathematics Subject Classification ID: 11F80
zbMATH DE Number: 3871549
zbMATH Keywords: Weil pairing
zbMATH Keywords: elliptic curve with complex multiplication
zbMATH Keywords: \(p\)-adic Néron-Tate height
zbMATH Keywords: Birch--Swinnerton-Dyer conjecture
zbMATH Keywords: \(p\)-adic \(L\)-series
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3884205
cites work: Q3939901
cites work: On the structure of certain Galois groups
cites work: Q4742927
cites work: Hauteurs et fonctions thêta
cites work: Q3936841
OpenAlex ID: W2047443668
reviewed by: Gerhard Frey
description: scientific article; zbMATH DE number 3871549