Infinite descent and \(p\)-adic heights over elliptic curves with complex multiplication
Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer sagt eine Beziehung zwischen der Determinante der Néron-Tate-Höhe einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper und dem Verhalten der \(L\)-Reihe dieser Kurve in \(s=1\) voraus. In der vorliegenden Arbeit wird für elliptische Kurven \(E\) mit komplexer Multiplikation über einem Körper \(F\), die bezüglich einer Stelle \({\mathfrak p}\) des Endomorphismen\-körpers gute ordinäre Reduktion besitzen, ein \({\mathfrak p}\)-adisches Analogon der Néron-Tate-Höhe und deren Verbindungen zu \({\mathfrak p}\)-adischen \(L\)-Reihen untersucht. Dazu wird im ersten Abschnitt die von der Verf. in Compos. Math. 43, 387--417 (1981; Zbl 0479.14019) gegebene Definition der \({\mathfrak p}\)-adischen Höhe dargestellt, die Konstruktion beruht auf der lokalen Néron-Höhe und verwendet \({\mathfrak p}\)-adische Funktionentheorie. Ein algebraischer Zugang wird im dritten Paragraphen geschildert, hier ist ein genaues Studium der \({\mathfrak p}\)-primären Komponente der Selmergruppe von \(E\) entscheidend, wesentliche Hilfsmittel sind Klassenkörpertheorie und die Weilsche Paarung auf Torsionspunkten von \(E\), vorausgesetzt wird, daß für \((F,{\mathfrak p})\) die ''schwache'' Leopoldt-Vermutung richtig ist. Dieser Zugang ermöglicht es, Aussagen über das Verhalten der \({\mathfrak p}\)-adischen Iwasawa-\(L\)-Reihe von \(E\) in \(s=1\) mit Eigenschaften der \({\mathfrak p}\)-adischen Höhenpaarung in Verbindung zu bringen (Théorème, p. 370). Im letzten Abschnitt werden einige Kurven mit \(j=12^ 3\) numerisch untersucht.
elliptic curve with complex multiplication
scientific article; zbMATH DE number 3871549