Incompressibility of surfaces after Dehn surgery
type: Item
instance of: scholarly article
title: Incompressibility of surfaces after Dehn surgery
zbMATH Open document ID: 0549.57007
author: Józef H. Przytycki
published in: Michigan Mathematical Journal
publication date: 1983-01-01T00:00:00Z
review text: Sei M eine kompakte 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit \(\partial M=T\), ein Torus. Für eine einfach geschlossene Kurve \(\lambda\) auf T konstruiert man die Mannigfaltigkeit \(M(\lambda)\), indem man an M einen Volltorus V so anklebt, daß eine Meridiankurve von V mit \(\lambda\) identifiziert wird (Dehn surgery an M längs \(\lambda)\). Eine proper eingebettete Fläche F heißt unverknotet in M, wenn \(M\backslash \)(Inneres einer regulären Umgebung von F) aus Henkelkörpern besteht. In Satz (1.4) wird gezeigt, daß für eine unverknotete Fläche F, deren Rand \(\partial F=\lambda\) nicht nullhomotop auf T ist, folgendes gilt: Die natürliche Erweiterung von F zu einer geschlossenen Fläche \(\hat F\) ist inkompressibel und \(\pi_ 1\)-injektiv in \(M(\lambda)\) genau dann, wenn F inkompressibel und \(\pi_ 1\)-injektiv in M ist. Die Bedingung, daß \(\partial F\) nur aus einer Komponente besteht, kann dabei auch ersetzt werden durch: F ist 2-seitig, nicht parallel zu \(\partial M\), hat zwei Randkomponenten und zerlegt M. An Beispielen wird gezeigt, daß diese Bedingungen über F in Satz (1.4) notwendig sind. Als Anwendung wird eine Frage von Hatcher und Thurston, ob Dehnsche surgery an einem Knoten k mit 2 Brücken längs dem Rand einer inkompressiblen und randinkompressiblen Fläche zu einer Hakenmannigfaltigkeit führt, beantwortet: Dies ist immer der Fall, wenn k kein Torusknoten ist. Ein ähnliches Resultat wird für punktierte Torusbündel über \(S^ 1\) gezeigt. Weiter werden Methoden von \textit{W. Floyd} und \textit{A. Hatcher} [Topology Appl. 13, 263-282 (1982; Zbl 0493.57004)] verwendet, um anzugeben, welche der Mannigfaltigkeiten, die aus einer bestimmten Klasse von punktierten Torusbündeln über \(S^ 1\) mittels Dehn surgery entstehen, Hakenmannigfaltigkeiten oder Seifertsche Faserräume sind. Dabei ergeben sich viele Beispiele von fast genügend großen Mannigfaltigkeiten, welche weder Hakenmannigfaltigkeiten noch Seifertsche Faserräume sind. Schließlich wird gezeigt, daß in…
Mathematics Subject Classification ID: 57N10
Mathematics Subject Classification ID: 57M25
zbMATH DE Number: 3876221
zbMATH Keywords: Dehn surgery on knots
zbMATH Keywords: incompressible surfaces
zbMATH Keywords: punctured torus bundles over the circle
zbMATH Keywords: torus knots
zbMATH Keywords: Haken 3-manifolds
zbMATH Keywords: Seifert fibre spaces
zbMATH Keywords: property R
zbMATH Keywords: Seifert surfaces
reviewed by: Wolfgang Heil
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1307/mmj/1029002906
OpenAlex ID: W1986167918
DOI: 10.1307/MMJ/1029002906
description: scientific article; zbMATH DE number 3876221