Incompressibility of surfaces after Dehn surgery
Sei M eine kompakte 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit \(\partial M=T\), ein Torus. Für eine einfach geschlossene Kurve \(\lambda\) auf T konstruiert man die Mannigfaltigkeit \(M(\lambda)\), indem man an M einen Volltorus V so anklebt, daß eine Meridiankurve von V mit \(\lambda\) identifiziert wird (Dehn surgery an M längs \(\lambda)\). Eine proper eingebettete Fläche F heißt unverknotet in M, wenn \(M\backslash \)(Inneres einer regulären Umgebung von F) aus Henkelkörpern besteht. In Satz (1.4) wird gezeigt, daß für eine unverknotete Fläche F, deren Rand \(\partial F=\lambda\) nicht nullhomotop auf T ist, folgendes gilt: Die natürliche Erweiterung von F zu einer geschlossenen Fläche \(\hat F\) ist inkompressibel und \(\pi_ 1\)-injektiv in \(M(\lambda)\) genau dann, wenn F inkompressibel und \(\pi_ 1\)-injektiv in M ist. Die Bedingung, daß \(\partial F\) nur aus einer Komponente besteht, kann dabei auch ersetzt werden durch: F ist 2-seitig, nicht parallel zu \(\partial M\), hat zwei Randkomponenten und zerlegt M. An Beispielen wird gezeigt, daß diese Bedingungen über F in Satz (1.4) notwendig sind. Als Anwendung wird eine Frage von Hatcher und Thurston, ob Dehnsche surgery an einem Knoten k mit 2 Brücken längs dem Rand einer inkompressiblen und randinkompressiblen Fläche zu einer Hakenmannigfaltigkeit führt, beantwortet: Dies ist immer der Fall, wenn k kein Torusknoten ist. Ein ähnliches Resultat wird für punktierte Torusbündel über \(S^ 1\) gezeigt. Weiter werden Methoden von \textit{W. Floyd} und \textit{A. Hatcher} [Topology Appl. 13, 263-282 (1982; Zbl 0493.57004)] verwendet, um anzugeben, welche der Mannigfaltigkeiten, die aus einer bestimmten Klasse von punktierten Torusbündeln über \(S^ 1\) mittels Dehn surgery entstehen, Hakenmannigfaltigkeiten oder Seifertsche Faserräume sind. Dabei ergeben sich viele Beispiele von fast genügend großen Mannigfaltigkeiten, welche weder Hakenmannigfaltigkeiten noch Seifertsche Faserräume sind. Schließlich wird gezeigt, daß in vielen Fällen die Bedingungen von Satz (1.4) erfüllt sind; z.B. wenn F inkompressibel, \(\pi_ 1\)- injektiv und nicht parallel zu \(\partial M\) ist und M keine wesentlichen geschlossenen 2-seitigen inkompressiblen Flächen enthält, ist F unverknotet in M. Übrigens folgt aus Satz (1.4), daß Knoten in \(S^ 3\), welche eine unverknotete inkompressible Seifertsche Fläche besitzen, die Eigenschaft R besitzen; denn \(S^ 1\times S^ 2\) enthält keine inkompressiblen Flächen.
scientific article; zbMATH DE number 3876221