Problèmes de Neumann non linéaires sur les variétés riemanniennes
L'A. étudie sur une variété riemannienne compacte à bord \(C^{\infty}\), des équations elliptiques non linéaires du type \(\Delta \phi =f(\phi,x)\), avec des données au bord de Neumann non linéaires \(\partial \phi \setminus \partial n=g(\phi,y)\). Il utilise la méthode variationelle avec contraintes, ainsi que la méthode des sur et sous-solutions. L'existence d'une solution faible est montrée en utilisant les travaux faits par l'A. sur le cas d'exception du théorème de Sobolev. La régularité au bord de la solution faible est obtenue moyennant d'astucieuses considérations. L'A. étudie plus particulièrement les équations correspondant au cas limite où f et g ont des croissances en \(\phi\) maximum. L'existence d'une solution suppose alors une hypothèse où interviennent les meilleurs constantes dans les inégalités de Sobolev et celles du cas d'exception. Ces résultats sont appliqués à un problème géométrique posé par l'A. comme extension du problème de Yamabe. Il s'agit moyennant un déformation conforme de la métrique de donner à la courbure scalaire de la variété et à la courbure moyenne (resp. géodésique si \(n=2)\) de son bord des valeurs prescrites. Les cas \(n=2\) et \(n\geq 3\) sont traités à part les équations étant très différentes.
scientific article; zbMATH DE number 3879780
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