Fibered groups with non-trivial centers
Betrachtet werden Paare (G,F), wobei \((G,+)\) eine Gruppe und F eine Menge echter Untergruppen von G ist, so daß \(\cup F=G\) und \(X\cap Y=\{0\}\) gilt für X,Y\(\in F\) mit \(X\neq Y\). (G,F) heißt dann gefaserte Gruppe (auch Gruppe mit Untergruppenpartition). Es sei E(G,F) die Menge aller Endomorphismen f von G mit f(X)\(\subset X\) für \(X\in F\). Dann ist \(E(G,F)^*=E(G,F)\setminus \{0\}\) eine Halbgruppe. Jeder gefaserten Gruppe entspricht eine Inzidenzgruppe, wobei die Inzidenzstruktur (G,\({\mathfrak L})\) durch \({\mathfrak L}=\{a+X| a\in G\), \(X\in F\}\) gegeben ist. Falls (G,\({\mathfrak L})\) dann ein ''gelochter Raum'' ist (hierzu gehören alle projektiven und affinen Räume), so ist nach \textit{G. P. Kist} [Beitr. geom. Algebra, Proc. Symp. Duisburg 1976, 179-183 (1977; Zbl 0381.51010); Result. Math. 3, 192-211 (1980; Zbl 0477.51004)] F eine kinematische Faserung, d.h. für \(x\in G\) und \(A\in F\) gilt \(x+A-x\in F\), und (G,\({\mathfrak L},+)\) ein kinematischer Raum, der sich dann durch eine kinematische Algebra darstellen läßt. \textit{M. Marchi}, \textit{C. P. Cippo} [Rend. Semin. Mat. Brescia 4, 3-42 (1982; Zbl 0458.51001)] zeigten [vgl. auch die Verff., J. Geom. 22, 196-201 (1984; Zbl 0537.51022)] für den Fall, daß (G,F) kinematisch und \(E(G,F)^*\neq \{id\}\) ist, daß \((G,+)\) kommutativ ist. Hier werden daher gefaserte Gruppen (G,F) studiert mit \((G,+)\) nicht kommutativ, F nicht kinematisch und \(E(G,F)^*\neq \{id\}\). Im endlichen Fall erzwingen diese Bedingungen, daß G eine p-Gruppe ist und somit ein nichttriviales Zentrum besitzt. Daher wird Z(G)\(\neq \{0\}\) generell vorausgesetzt. Die Theorie dieser Strukturen wird entwickelt und allgemeine Konstruktionsmethoden angegeben, die zeigen, daß es eine Fülle solcher gefaserten Gruppen gibt. Natürlich weicht die zugehörige Inzidenzstruktur von der aus der Anschauung gewohnten stark ab.
scientific article; zbMATH DE number 3880925