Fibered groups with non-trivial centers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Fibered groups with non-trivial centers
zbMATH Open document ID: 0553.20011
DOI: 10.1007/BF03322504
author: C. J. Maxson
author: Helmut Karzel
published in: Results in Mathematics
publication date: 1984-01-01T00:00:00Z
review text: Betrachtet werden Paare (G,F), wobei \((G,+)\) eine Gruppe und F eine Menge echter Untergruppen von G ist, so daß \(\cup F=G\) und \(X\cap Y=\{0\}\) gilt für X,Y\(\in F\) mit \(X\neq Y\). (G,F) heißt dann gefaserte Gruppe (auch Gruppe mit Untergruppenpartition). Es sei E(G,F) die Menge aller Endomorphismen f von G mit f(X)\(\subset X\) für \(X\in F\). Dann ist \(E(G,F)^*=E(G,F)\setminus \{0\}\) eine Halbgruppe. Jeder gefaserten Gruppe entspricht eine Inzidenzgruppe, wobei die Inzidenzstruktur (G,\({\mathfrak L})\) durch \({\mathfrak L}=\{a+X| a\in G\), \(X\in F\}\) gegeben ist. Falls (G,\({\mathfrak L})\) dann ein ''gelochter Raum'' ist (hierzu gehören alle projektiven und affinen Räume), so ist nach \textit{G. P. Kist} [Beitr. geom. Algebra, Proc. Symp. Duisburg 1976, 179-183 (1977; Zbl 0381.51010); Result. Math. 3, 192-211 (1980; Zbl 0477.51004)] F eine kinematische Faserung, d.h. für \(x\in G\) und \(A\in F\) gilt \(x+A-x\in F\), und (G,\({\mathfrak L},+)\) ein kinematischer Raum, der sich dann durch eine kinematische Algebra darstellen läßt. \textit{M. Marchi}, \textit{C. P. Cippo} [Rend. Semin. Mat. Brescia 4, 3-42 (1982; Zbl 0458.51001)] zeigten [vgl. auch die Verff., J. Geom. 22, 196-201 (1984; Zbl 0537.51022)] für den Fall, daß (G,F) kinematisch und \(E(G,F)^*\neq \{id\}\) ist, daß \((G,+)\) kommutativ ist. Hier werden daher gefaserte Gruppen (G,F) studiert mit \((G,+)\) nicht kommutativ, F nicht kinematisch und \(E(G,F)^*\neq \{id\}\). Im endlichen Fall erzwingen diese Bedingungen, daß G eine p-Gruppe ist und somit ein nichttriviales Zentrum besitzt. Daher wird Z(G)\(\neq \{0\}\) generell vorausgesetzt. Die Theorie dieser Strukturen wird entwickelt und allgemeine Konstruktionsmethoden angegeben, die zeigen, daß es eine Fülle solcher gefaserten Gruppen gibt. Natürlich weicht die zugehörige Inzidenzstruktur von der aus der Anschauung gewohnten stark ab.
Mathematics Subject Classification ID: 20D60
Mathematics Subject Classification ID: 20F65
Mathematics Subject Classification ID: 51J05
Mathematics Subject Classification ID: 20D30
Mathematics Subject Classification ID: 20D45
Mathematics Subject Classification ID: 51J20
zbMATH DE Number: 3880925
zbMATH Keywords: semigroup of endomorphisms
zbMATH Keywords: fibered groups
zbMATH Keywords: porous space
zbMATH Keywords: kinematic fibration
zbMATH Keywords: incidence groups
zbMATH Keywords: kinematic algebras
zbMATH Keywords: translation planes
zbMATH Keywords: affine groups
zbMATH Keywords: planar near-fields
MaRDI profile type: Publication
cites work: Partitionen endlicher Gruppen
cites work: Q3733679
cites work: Kinematic spaces with dilatations
cites work: Projektiver Abschluss 2-gelochter Räume
cites work: Fibered incidence groups which are not kinematic
cites work: Endliche nichtkommutative Gruppen mit Partition \(\Pi\) und fixpunktfreiem \(\Pi\)-Automorphismus
description: scientific article; zbMATH DE number 3880925