Some properties of the exposed points of finite-dimensional convex sets
Comme l'indique le titre, l'article est consacré aux points exposés d'ensembles convexes de dimension finie, plus précisement de convexes fermés de \({\mathbb{R}}^ n\). En voici les principaux résultats, où C, \(C_ 1\), \(C_ 2\) désignent des convexes fermés non vides et où l'on suppose que C ne contient pas de droite. 1) Si \(p\not\in C,\) il existe un point exposé x de C et un hyperplan d'appui H de C en x qui sépare C et p \((p\not\in H).\) 2) Notons \({\mathbb{C}}(C,x)\) le cône de sommet x engendré par C; alors C est l'intersection des cônes \({\mathbb{C}}(C,x)\) où x parcourt l'ensemble des points exposés de C. 3) C est l'intersection des ensembles strictement convexes qui le contiennent. 4) Si \(C_ 1\) et \(C_ 2\) sont disjoints, les conditions suivantes sont équivalentes: (i) \(C_ 1-C_ 2\) ne contient pas de droite; (ii) \(C_ 1\) et \(C_ 2\) ne contiennent pas de droite et 0 est le seul point commun aux cônes de récession de \(C_ 1\) et \(C_ 2\); (iii) il existe deux cônes circulaires opposés contenant \(C_ 1\) et \(C_ 2\) respectivement; (iv) on peut séparer \(C_ 1\) et \(C_ 2\) par des hyperplans parallèles disjoint \(H_ 1\) et \(H_ 2\) tels que \(H_ 1\cap C_ 1\) (resp. \(H_ 2\cap C_ 2)\) soit un point exposé de \(C_ 1\) (resp. \(C_ 2)\). 5) Si x est un point exposé de C, il existe un ensemble fermé strictement convexe contenant C dont la frontière est une variété \(C^{\infty}\) contenant x.
scientific article; zbMATH DE number 3881394