Global Tchebychev nets on complete two-dimensional Riemannian surfaces
Bekanntlich heißt ein Netz von Parameterkurven einer zweidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit S ein ``Tschebyscheff- Netz'', wenn das Bogenelementquadrat von S die Form \(ds^ 2=du^ 2+2F du dv+dv^ 2\) besitzt, d.h. wenn auf S linear unabhängige Vektorfelder \(X_ 1\), \(X_ 2\) mit den Eigenschaften \(\| X_ 1\| =\| X_ 2\| =1\) und \([X_ 1,X_ 2]\equiv 0\) existieren. Notwendige Bedingung für die globale Existenz eines solchen Netzes auf S ist die Ungleichung \(| \int_{S}\kappa dA| \leq 2\pi\) für das Oberflächenintegral der Gaußschen Krümmung \(\kappa\) von S [siehe \textit{J. N. Hazzidakis}, ``Über einige Eigenschaften der Flächen mit konstantem Krümmungsmaß'', J. Reine Angew. Math. 88, 68-73 (1880; JFM 11.0527.03)]. Hauptergebnis der Verf. ist nun die Tatsache, daß umgekehrt für die globale Existenz eines Tschebyscheff-Netztes auf einer vollständigen, nichtkompakten und einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit S die folgenden Bedingungen hinreichen: 1. \(| \int_{C}\kappa dA| <\frac{\pi}{2}\) für jede kompakte Untermenge C von S und 2. supp \(\kappa\) ist kompakt. Sie zeigt dies durch Zurückführung auf ein Existenzproblem für die Lösungen eines hyperbolischen Paars von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung unter Anwendung der Kontinuitätsmethode und vermutet noch hierbei, daß die Bedingung 2. weggelassen oder abgeschwächt werden kann.
scientific article; zbMATH DE number 4201074
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