The behavior of solutions of quasi-linear heat equations
In einem beschränkten Gebiet \(\Omega \subset R^ n\) und \(R^+=(0,\infty)\) betrachtet der Verfasser folgende Rand- Anfangswertaufgaben für den Wärmefluß in einem festen Körper: \[ (D)\quad u_ t=\sum^{n}_{i,j=1}(\partial /\partial x_ i)(a^{ij}(x,u)\partial u/\partial x_ j)\text{ in } \Omega \times R^+,\quad u(x,0)=u_ 0(x)\text{ in } \Omega \] mit \((R_ 1)\) \(u(x,t)=0\) auf \(\partial \Omega \times R^+\) oder \((R_ 2)\sum^{n}_{i,j=1}a^{ij}(x,u)\nu_ i(x)\partial u/\partial x_ j=0\) auf \(\partial \Omega \times R^+.\) Hierbei ist u(x,t) die Temperatur im Punkt x zur Zeit t. Für isotropes \(\Omega\) kann \(a^{ij}(x,u)=k(x,u)\delta^{ij}\) gesetzt werden, wobei k dem Wärmefluß entspricht. Wenn k nur von u abhängt, so sei \(\phi (u)=\int^{u}_{0}k(s)ds\) gesetzt. Dann wird aus obigen Gleichungen \[ (\bar D)\quad u_ t=\Delta \phi (u)\text{ in } \Omega \times R^+,\quad u(x,0)=u_ 0(x)\text{ in } \Omega \] mit \((R_ 1)\) bzw. \((\bar R_ 2)\) \((\partial /\partial \nu)u(x,t)=0\) auf \(\partial \Omega \times R^+.\) Dieses Problem ist degeneriert in \(u=0\), d.h. \(\phi '(0)=0\) und \(\phi'(r)>0\) für \(r\neq 0\) (Gasströmungen in homogenen porösen Medien). Zahlreiche Eigenschaften schwacher Lösungen der genannten Probleme werden bewiesen.
scientific article; zbMATH DE number 4198610