Elliptic isometries, condition (C) and proper maps
type: Item
instance of: scholarly article
title: Elliptic isometries, condition (C) and proper maps
zbMATH Open document ID: 0726.53030
DOI: 10.1007/BF01190218
author: Karsten Grove
author: Stephen Halperin
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: Seien \(N\), \(M\) vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten. \(LM=\{c: [0,1]\to M; c\) absolut stetig mit quadratintegrierbarer Ableitung \(\dot c\}\). \(E: LM\to\mathbb{R}\) sei die Energiefunktion \(E(c)=\int^1_0\dot c^2(t)\,dt\). Es wird ein kommutatives Diagramm betrachtet. Dabei sei \(f\) eine differenzierbare Abbildung \(\pi (c)=(c(0),c(1))\), \(L_fM\) der pullback von \(\pi\) bezüglich \(f\) und \(E_f\) als Komposition definiert. Die Autoren beweisen folgendes Theorem A. \(E_f\) erfüllt die Bedingung (C) von Palais und Smale \(\Leftrightarrow\) Distanz \(\circ f\) ist eigentlich. Die Verfasser behandeln zwei Fälle, in denen Theorem A anwendbar ist: 1. \(f=(\text{id},A), \quad A: M\to M\) eine elliptische Isometrie. 2. \(f=(g,\text{konst}.),\quad g: N\to M\) differenzierbar und eigentlich. Im ersten Fall können sie zeigen (Theorem B), daß (mit Ausnahme der \glqq rational elliptischen\grqq{} Räume) es für einfach zuammenhängendes \(M\) stets unendlich viele \(A\)-invariante Geodätische gibt. Der zweite Fall bedeutet, daß man für die Homotopiefaser von differenzierbaren, eigentlichen Abbildungen kritische Punkt-Theorie betreiben kann.
reviewed by: Adolf Riede
Mathematics Subject Classification ID: 53C22
Mathematics Subject Classification ID: 37D15
Mathematics Subject Classification ID: 58E05
zbMATH DE Number: 4198958
zbMATH Keywords: geodesics
zbMATH Keywords: Morse-Smale-systems
zbMATH Keywords: critical point theory
zbMATH Keywords: elliptic isometries
zbMATH Keywords: homotopy fibre
zbMATH Keywords: proper maps
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01190218
OpenAlex ID: W1985726072
description: scientific article; zbMATH DE number 4198958