Nielsen equivalence in Fuchsian groups and Seifert fibered spaces
Die vorliegende Arbeit baut auf der Tatsache auf, daß sich für eine endlich erzeugte Gruppe G unter einer gewissen Voraussetzung (*) eine Invariante analog zur Reidemeister-Franz-Torsion für zwei minimale Erzeugendensysteme definieren läßt, deren Verschwinden notwendig für die Nielsenäquivalenz dieser Erzeugendensysteme ist. Die Voraussetzung (*) ist die Existenz einer Darstellung \(\rho\) : \({\mathbb{Z}}(G)\to {\mathfrak R}\) in einen Matrizenring \({\mathfrak R}\) über einem kommutativen Ring mit 1, für die das Bild aller Foxschen Ableitungen der Relatoren einer Präsentation von G verschwindet. Mittels dieser Torsionsinvariante werden in dieser Arbeit Erzeugendensysteme Fuchsscher Gruppen als inäquivalent erwiesen. Über zugeordnete Erzeugendensysteme lassen sich dann auch Heegaardzerlegungen Seifertscher Faserräume unterscheiden. Die Methode führt in vielen Fällen zu Klassifikationen, wo bisherige Techniken an ihre Grenzen gelangt waren; die Darstellungen \(\rho\) (in \(2\times 2\)-Matrizen über \({\mathbb{C}})\) ergeben sich dabei in natürlicher Weise aus den geometrisch- algebraischen Daten. Abschließend sei darauf hingewiesen, daß die Autoren die genannte Technik inzwischen erfolgreich auf weitere topologische Probleme (Brücken- bzw. Tunnelanzahlen bei Verschlingungen und zugehörige 3- Mannigfaltigkeiten) angewandt haben.
scientific article; zbMATH DE number 4199033