Specht modules and resolvents of algebraic equations
K sei ein Körper der Charakteristik 0 und H sei eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(S_ n\), die in natürlicher Weise auf den Polynomring \(K[X_ 1,...,X_ n]\) operiert. Ein Polynom h in \(K[X_ 1,...,X_ n]\), dessen Stabilisator H ist, heiße ein H-Polynom. Das Polynom \(f(Z)=Z^ n+a_ 1Z^{n-1}+...a_ n\) habe n verschiedene Nullstellen \(\alpha_ 1,...,\alpha_ n\). Das Polynom \(h_ P=\prod (Z- \tau \circ P)\), wo \(\tau\) ein vollständiges Vertretersystem der Nebenklassen von \(S_ n\) bzgl. H durchläuft, hat Koeffizienten in K. Für explizite Berechnungen von Galoisgruppen ist es wichtig zu wissen, wann \(h_ P\) nur einfache Nullstellen hat. In dieser Hinsicht gibt Verf. etliche Kriterien, von denen die folgenden hervorgehoben werden können. Für eine Untergruppe H von \(S_ n\) bezeichne d den kleinst-möglichen Grad eines H-Polynoms. Es wird bewiesen, daß ein H-Polynom h vom Grad d existiert derart, daß \(h_ P\) für jedes über K irreduzible Polynom mit \(S_ n\) als Galoisgruppe nur einfache Nullstellen besitzt. Das gleiche gilt, falls H eine transitive auflösbare Untergruppe von gerader Ordnung und n eine Primzahl ist. Ferner werden Beispiel von Körpern K und Gruppen H gegeben, für die \(h_ P\) für unendlich viele Polynome stets mehrfache Wurzeln hat. Die Beweise beruhen u.a. auf der Darstellungstheorie für Permutationsgruppen.
scientific article; zbMATH DE number 4204488
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