Specht modules and resolvents of algebraic equations
type: Item
instance of: scholarly article
title: Specht modules and resolvents of algebraic equations
zbMATH Open document ID: 0729.12002
DOI: 10.1016/0021-8693(91)90079-N
author: Kurt Girstmair
published in: Journal of Algebra
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: K sei ein Körper der Charakteristik 0 und H sei eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(S_ n\), die in natürlicher Weise auf den Polynomring \(K[X_ 1,...,X_ n]\) operiert. Ein Polynom h in \(K[X_ 1,...,X_ n]\), dessen Stabilisator H ist, heiße ein H-Polynom. Das Polynom \(f(Z)=Z^ n+a_ 1Z^{n-1}+...a_ n\) habe n verschiedene Nullstellen \(\alpha_ 1,...,\alpha_ n\). Das Polynom \(h_ P=\prod (Z- \tau \circ P)\), wo \(\tau\) ein vollständiges Vertretersystem der Nebenklassen von \(S_ n\) bzgl. H durchläuft, hat Koeffizienten in K. Für explizite Berechnungen von Galoisgruppen ist es wichtig zu wissen, wann \(h_ P\) nur einfache Nullstellen hat. In dieser Hinsicht gibt Verf. etliche Kriterien, von denen die folgenden hervorgehoben werden können. Für eine Untergruppe H von \(S_ n\) bezeichne d den kleinst-möglichen Grad eines H-Polynoms. Es wird bewiesen, daß ein H-Polynom h vom Grad d existiert derart, daß \(h_ P\) für jedes über K irreduzible Polynom mit \(S_ n\) als Galoisgruppe nur einfache Nullstellen besitzt. Das gleiche gilt, falls H eine transitive auflösbare Untergruppe von gerader Ordnung und n eine Primzahl ist. Ferner werden Beispiel von Körpern K und Gruppen H gegeben, für die \(h_ P\) für unendlich viele Polynome stets mehrfache Wurzeln hat. Die Beweise beruhen u.a. auf der Darstellungstheorie für Permutationsgruppen.
Mathematics Subject Classification ID: 12E12
Mathematics Subject Classification ID: 12E05
zbMATH DE Number: 4204488
zbMATH Keywords: Specht modules
zbMATH Keywords: resolvents of algebraic equations
zbMATH Keywords: stabilizer
zbMATH Keywords: H- polynomials
zbMATH Keywords: determination of the Galois group
reviewed by: Christian U. Jensen
MaRDI profile type: Publication
cites work: Polynomials with Frobenius groups of prime degree as Galois groups. II
cites work: The transitive groups of degree up to eleven+
cites work: Q3684278
cites work: Polynomials with PSL(2,7) as Galois group
cites work: Linear dependence of zeros of polynomials and construction of primitive elements
cites work: On the computation of resolvents and Galois groups
cites work: On Invariant Polynomials and Their Application in Field Theory
cites work: Über die praktische Auflösung von Gleichungen höheren Grades. (On the solution of higher degree equations in practice)
cites work: Endliche Gruppen I
cites work: Q3952291
cites work: \(k\)-homogeneous groups
cites work: Q3273303
cites work: Q5797085
cites work: Konstruktive Galoistheorie. (Constructive Galois theory)
cites work: Transitive Permutation Groups of Prime Degree, III: Character-Theoretic Observations
cites work: Specht modules and symmetric groups
cites work: The transitive groups of degree twelve
cites work: Computing Galois groups over the rationals
cites work: The Determination of Galois Groups
Recommended article: Resolvents and dimensions of modules and rings
Recommended article: Specht polynomials and modules over the Weyl algebra
Recommended article: Solutions of systems of algebraic equations and linear maps on residue class rings
Recommended article: Permutation resolutions for Specht modules.
Recommended article: The resolvent algebra: ideals and dimension
Recommended article: Boltje-Maisch resolutions of Specht modules.
Recommended article: Resolutions of Hilbert modules
Recommended article: Q4385083
Recommended article: Resolvent spaces for algebraic operators and applications
Recommended article: Q3812419
description: scientific article; zbMATH DE number 4204488