Rate of approximation of orthogonal series by Riesz means
type: Item
instance of: scholarly article
title: Rate of approximation of orthogonal series by Riesz means
zbMATH Open document ID: 0731.42029
DOI: 10.1007/BF01236291
published in: Mathematical Notes
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
review text: Es seien \(p_{\omega}=p(\omega)\) eine stetige, streng wachsende Funktion mit \(p_ 0=0,\lim_{\omega \to \infty}p(\omega)=\infty\) und \(\Phi\) die Menge der orthonormierten Systeme \(\phi =\{\phi_ n(x)\}^{\infty}_ 0\) in \((0,1).\) Im Falle \(\{a_ n\}\in \ell_ 2\) sei f(x) die \(L_ 2\)- Summe der Reihe \[ \sum^{\infty}_{n=0}a_ n\phi_ n(x)\quad (\phi \in \Phi), \] \[ R^{\alpha}_{\omega}(p,f,x)=\sum^{\omega}_{i=0}(1-p_ i/p_{\omega})^{\alpha} a_ i\phi_ i(x)\quad (\alpha >0), \] und \[ \Delta^{\alpha}_{\omega}(x)=| f(x)- R^{\alpha}_{\omega}(p,f,x)|. \] Unter anderem wird der folgende Satz bewiesen: Es sei \(\lambda (\omega)>0\) eine Folge mit \[ \lambda (\omega)/\log \log p(\omega)\uparrow,\quad \lambda (\omega)/p(\omega)\log \log p(\omega)\downarrow 0. \] Wenn \(\sum^{\infty}_{i=0}c^ 2_ i\lambda^ 2(i)<\infty\), dann gilt \[ (*)\quad \Delta^{\alpha}_{\omega}(x)=o_ x(\log \log p(\omega)/\lambda (\omega)) \] fast überall in (0,1). Gilt eine der Voraussetzungen \(a)\quad \lambda (\omega)\exp (-\log^{\beta} p(\omega))\downarrow\) für ein \(\beta \in (0,1),\) \(b)\quad \mu (\omega)\equiv p(\omega)/\lambda (\omega)\uparrow \infty,\mu (\omega)\exp (- \log^{\beta} p(\omega))\downarrow\) für ein \(\beta \in (0,1),\) \(c)\quad \mu (\omega)\downarrow,\) dann ist die Abschätzung (*) definitiv.
Mathematics Subject Classification ID: 42C15
Mathematics Subject Classification ID: 40G99
zbMATH DE Number: 4208786
zbMATH Keywords: orthogonal series
zbMATH Keywords: Riesz summability
author: V. A. Andrienko
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5727772
cites work: Q5596384
reviewed by: Károly Tandori
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description: scientific article; zbMATH DE number 4208786