Über die dritte quadratische Differentialform eines Normalensystems. (On the third quadratic differential form of a normal system)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die dritte quadratische Differentialform eines Normalensystems. (On the third quadratic differential form of a normal system)
zbMATH Open document ID: 0731.53009
DOI: 10.1007/BF01258518
published in: Journal of Geometry
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: Über einem einfach zusammenhängenden Gebiet der reellen (u,v)-Ebene sei ein \(C^ 4\)-Strahlensystem (Geradenkongruenz) S im dreidimensionalen euklidischen Raum \(E^ 3\) durch den Richtungseinheitsvektor e(u,v) seiner Geraden und seine Mittenfläche P(u,v) gegeben. Es gelte: S ist eineindeutig sphärisch abbildbar; die Geraden von S sind entweder alle nichtisotrop oder alle isotrop; die Mittenhüllfläche M(u,v) von S ist regulär und nabelpunktfrei. Die vom Verf. bereits früher eingeführte dritte quadratische Differentialform \(III:=(dP,dM,e)\) von S führt über die Extremwerte \(q_ 1,q_ 2\) der Funktion q(du : dv):\(=III/(de)^ 2\) (bei festem u,v) auf die gemischte Krümung \(K^*:=q_ 1q_ 2\) und die gemischte mittlere Krümmung \(H^*:=(q_ 1+q_ 2)/2\) von S. In der vorliegenden Arbeit wird zunächst III explizit für den Fall bestimmt - und geometrisch gedeutet -, daß S ein \(C^ 4\)- Normalensystem ist, d.h. aus den Normalen einer eineindeutig sphärisch abbildbaren, nabelpunktfreien regulären \(C^ 5\)-Fläche \(\Phi \subset E^ 3\) besteht; hier folgt unter anderem, daß die Geraden eines Normalensystems S genau dann sämtlich Nabelgeraden sind, wenn die Mittenhüllfläche von S eine Minimalfläche ist. Schließlich werden unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß \(\Phi\) eine Drehfläche ist, \(K^*\) und \(H^*\) \((=0)\) sowie, für den Spezialfall eines Torus \(\Phi\), auch die Mittenfläche und die Mittenhüllfläche des zugehörigen Normalensystems S explizit ermittelt.
Mathematics Subject Classification ID: 53A25
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
Mathematics Subject Classification ID: 53A10
zbMATH DE Number: 4208977
zbMATH Keywords: linear congruence
zbMATH Keywords: normal system
zbMATH Keywords: mean surface
zbMATH Keywords: umbilics
author: N. K. Stephanidis
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q3228061
cites work: Minimalflaechen und Strahlensysteme
cites work: Q3488818
cites work: Q5749902
Recommended article: Systeme quadratischer Formen III.
Recommended article: Normal Forms for Polynomial Differential Systems in ℝ3 Having an Invariant Quadric and a Darboux Invariant
Recommended article: Normal and quasinormal forms for systems of difference and differential-difference equations
Recommended article: Q3264367
Recommended article: Q4862179
Recommended article: Q3472420
Recommended article: Q5846366
Recommended article: The generalized normal form and formal equivalence of systems of differential equations with zero approximation (\(x^3_2, -x^3_1\))
description: scientific article; zbMATH DE number 4208977