Über die dritte quadratische Differentialform eines Normalensystems. (On the third quadratic differential form of a normal system)
Über einem einfach zusammenhängenden Gebiet der reellen (u,v)-Ebene sei ein \(C^ 4\)-Strahlensystem (Geradenkongruenz) S im dreidimensionalen euklidischen Raum \(E^ 3\) durch den Richtungseinheitsvektor e(u,v) seiner Geraden und seine Mittenfläche P(u,v) gegeben. Es gelte: S ist eineindeutig sphärisch abbildbar; die Geraden von S sind entweder alle nichtisotrop oder alle isotrop; die Mittenhüllfläche M(u,v) von S ist regulär und nabelpunktfrei. Die vom Verf. bereits früher eingeführte dritte quadratische Differentialform \(III:=(dP,dM,e)\) von S führt über die Extremwerte \(q_ 1,q_ 2\) der Funktion q(du : dv):\(=III/(de)^ 2\) (bei festem u,v) auf die gemischte Krümung \(K^*:=q_ 1q_ 2\) und die gemischte mittlere Krümmung \(H^*:=(q_ 1+q_ 2)/2\) von S. In der vorliegenden Arbeit wird zunächst III explizit für den Fall bestimmt - und geometrisch gedeutet -, daß S ein \(C^ 4\)- Normalensystem ist, d.h. aus den Normalen einer eineindeutig sphärisch abbildbaren, nabelpunktfreien regulären \(C^ 5\)-Fläche \(\Phi \subset E^ 3\) besteht; hier folgt unter anderem, daß die Geraden eines Normalensystems S genau dann sämtlich Nabelgeraden sind, wenn die Mittenhüllfläche von S eine Minimalfläche ist. Schließlich werden unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß \(\Phi\) eine Drehfläche ist, \(K^*\) und \(H^*\) \((=0)\) sowie, für den Spezialfall eines Torus \(\Phi\), auch die Mittenfläche und die Mittenhüllfläche des zugehörigen Normalensystems S explizit ermittelt.
scientific article; zbMATH DE number 4208977
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