Existence and uniqueness in photometric stereo
type: Item
instance of: scholarly article
title: Existence and uniqueness in photometric stereo
zbMATH Open document ID: 0732.53005
DOI: 10.1016/0096-3003(91)90001-4
author: Ryszard Kozera
published in: Applied Mathematics and Computation
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: Wird eine Fläche \(u=u(x,y)\), die physikalisch dem Lambertschen Beleuchtungsgesetz genügt, parallel in Richtung p beleuchtet, so erscheint ihr Grundriß (x,y) in einer gewissen Schattierung E(x,y), die unter Verwendung der Flächennormale \(n=(u_ x,u_ y,-1)\) durch \(E(x,y)=\cos (n,p)\) bestimmt ist. Das Problem besteht in der Umkehraufgabe, zu gegebener Bildfunktion E(x,y) mit bekannter Richtung p die Fläche u(x,y) zu rekonstruieren, also die in \(u_ x\), \(u_ y\) quadratische partielle Differentialgleichung 1. Ordnung zu lösen. In der vorliegenden Arbeit interessieren Fragen der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen u(x,y) im Fall der Stereophotometrie, wo simultan zwei Lichtrichtungen p,q mit zugehörigen Intensitäten \(E_ i(x,y)\), \(i=1,2\), vorgegeben sind. Die beiden Bedingungen lassen sich explizit nach \(u_ x\) und \(u_ y\) auflösen und damit die Integrabilitätsbedingung \(u_{xy}=u_{yx}\) anschreiben. Die fünfseitige Rechnung (S. 13-17) würde deutlich kürzer und geometrisch einsichtiger durch die Idee, daß n durch die Schnitterzeugenden der beiden Drehkegel mit Achsenrichtung p bzw. q, Öffnungs-cos \(E_ 1\) bzw. \(E_ 2\) und gemeinsamer Spitze 0 bestimmt ist. Diese Schnitterzeugenden lassen sich nach Methoden der Konstruktiven Geometrie unter Verwendung der Hilfskugel \(<n,n>=1\) und des Ansatzes \(n=\alpha p+\beta q+t(p\times q)\) analytisch in wenigen Zeilen hinschreiben. Dabei wird auch klar, weshalb die beiden quadratischen Bedingungen mit Rücksicht auf die durch \(0\leq E_ i\leq 1\) gegebene Orientierung lokal höchstens zwei Lösungen gestatten und wie man Beispiele für Vorgaben ohne Lösung findet (Anm. d. Ref.). Es schließen sich zahlreiche Folgerungen und viele ausführliche und sehr konkrete Beispiele an. Auch drei simultane Beleuchtungen werden kurz betrachtet.
Mathematics Subject Classification ID: 53A05
Mathematics Subject Classification ID: 35F20
zbMATH DE Number: 4210954
zbMATH Keywords: Lambertian surface
zbMATH Keywords: illumination
zbMATH Keywords: point light sources
zbMATH Keywords: first-order nonlinear partial differential equations
reviewed by: Hermann Schaal
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: 0096-3003(91)90001-4
OpenAlex ID: W1971668010
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description: scientific article; zbMATH DE number 4210954