On sharply n-transitive superstable groups
Eine Gruppe G von Permutationen einer Menge \(\Omega\) heißt scharf n- transitiv, wenn es für je zwei n-Tupel \((x_ 1,...,x_ n)\in \Omega^ n\) und \((y_ 1,...,y_ n)\in \Omega^ n\) genau ein \(\pi\in G\) mit \(\pi (x_ i)=y_ i\) für alle \(1\leq i\leq n\) gibt. Nach M. Hall und J. Tits gibt es keine unendlichen, scharf n-transitiven Gruppen für \(n\geq 4\). Der Autor betrachtet daher nur die Fälle \(n=2\) und \(n=3\). In diesen Fällen läßt sich G als Transformationsgruppe auf einem Fast-Ring, bzw. einem KT-Feld beschreiben (H. Zassenhaus, H. Karzel et al.). In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß unter all diesen Gruppen nur die Standard-Beispiele superstabil (im Sinne der Modelltheorie) sind. Der erste Hauptsatz besagt, daß eine unendliche, auflösbare, scharf 2-fach transitive superstabile Gruppe G die Form \(K\rtimes K^*\) hat, wobei K ein algebraisch abgeschlossener Körper ist (semidirektes Produkt der additiven Gruppe von K mit der multiplikativen Gruppe \(K^*)\). Der zweite Hauptsatz sagt, daß eine unendliche, scharf 3-fach transitive Gruppe G von endlichem Morley-Rang von der Form \(PSL_ 2(K)\) ist, wobei K wiederum ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Ein wichtiger Schritt im Beweis ist der Nachweis, daß die Wirkung von G auf \(\Omega\) definierbar ist.
scientific article; zbMATH DE number 4210123
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