A class of KT-nearfields closed with respect to planarity whose theory is not closed with respect to planarity
type: Item
instance of: scholarly article
title: A class of KT-nearfields closed with respect to planarity whose theory is not closed with respect to planarity
zbMATH Open document ID: 0733.12011
DOI: 10.1007/BF03323289
author: W. Kerby
published in: Results in Mathematics
publication date: 1991-01-01T00:00:00Z
review text: Bei transitiven Permutationsgruppen G, in denen jede Permutation höchstens einen Fixpunkt besitzt (sogenannte Frobenius-Gruppen), bilden die fixpunktfreien Permutationen zusammen mit der Identität einen Normalteiler im allgemeinen nur, wenn G endlich ist. Eine genaue Charakterisierung der unendlichen Frobeniusgruppen, welche den Satz von Frobenius erfüllen, scheint es noch nicht zu geben. Bei scharf 3-fach transitiven Gruppen bilden die Standuntergruppen Frobenius-Gruppen, von denen man lange vermutete, daß diese stets den Satz von Frobenius erfüllen würden. Das ist jedoch nicht der Fall, wie Kerby bereits vor einigen Jahren mit modelltheoretischen Methoden herausfand. Das zugrundeliegende Beispiel ist hier aufgeschrieben. Stellt man, wie üblich, die scharf 3-fach transitiven Gruppen H als Gruppe der ``gebrochen linearen'' Abbildungen eines KT-Feldes dar, so ist die Frage, ob eine Standuntergruppe \(H_ a\) den Satz von Frobenius erfüllt, gleichbedeutend damit, daß das zugrundeliegende KT-Feld planar ist (planare KT-Felder sind stets planare KT-Fastkörper, sind also auch Koordinatenbereiche projektiver Ebenen). Das Hauptergebnis lautet folgendermaßen: Es bezeichnet KTASF die Klasse der KT-Körper, deren multiplikative Gruppe eine Abelsche Untergruppe von endlichem Index besitzt. Jeder kommutative Körper kann eingebettet werden in einen nichtplanaren Unter-KT-Fastkörper eines Ultraprodukts \(\prod F_ i/U\) von KT-Fastkörpern \(F_ i\) aus KTASF.
Mathematics Subject Classification ID: 12K05
Mathematics Subject Classification ID: 12L10
zbMATH DE Number: 4212191
zbMATH Keywords: non planar KT-nearfields
zbMATH Keywords: non planar sharply 3-transitive permutation groups
reviewed by: Heinrich Wefelscheid
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4732548
cites work: Q3801678
cites work: Q4041787
cites work: A class of canonical sharply 3-transitive groups
cites work: On a class of sharply 3-transitive groups
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf03323289
OpenAlex ID: W2065620079
description: scientific article; zbMATH DE number 4212191