A class of KT-nearfields closed with respect to planarity whose theory is not closed with respect to planarity
Bei transitiven Permutationsgruppen G, in denen jede Permutation höchstens einen Fixpunkt besitzt (sogenannte Frobenius-Gruppen), bilden die fixpunktfreien Permutationen zusammen mit der Identität einen Normalteiler im allgemeinen nur, wenn G endlich ist. Eine genaue Charakterisierung der unendlichen Frobeniusgruppen, welche den Satz von Frobenius erfüllen, scheint es noch nicht zu geben. Bei scharf 3-fach transitiven Gruppen bilden die Standuntergruppen Frobenius-Gruppen, von denen man lange vermutete, daß diese stets den Satz von Frobenius erfüllen würden. Das ist jedoch nicht der Fall, wie Kerby bereits vor einigen Jahren mit modelltheoretischen Methoden herausfand. Das zugrundeliegende Beispiel ist hier aufgeschrieben. Stellt man, wie üblich, die scharf 3-fach transitiven Gruppen H als Gruppe der ``gebrochen linearen'' Abbildungen eines KT-Feldes dar, so ist die Frage, ob eine Standuntergruppe \(H_ a\) den Satz von Frobenius erfüllt, gleichbedeutend damit, daß das zugrundeliegende KT-Feld planar ist (planare KT-Felder sind stets planare KT-Fastkörper, sind also auch Koordinatenbereiche projektiver Ebenen). Das Hauptergebnis lautet folgendermaßen: Es bezeichnet KTASF die Klasse der KT-Körper, deren multiplikative Gruppe eine Abelsche Untergruppe von endlichem Index besitzt. Jeder kommutative Körper kann eingebettet werden in einen nichtplanaren Unter-KT-Fastkörper eines Ultraprodukts \(\prod F_ i/U\) von KT-Fastkörpern \(F_ i\) aus KTASF.
non planar sharply 3-transitive permutation groups
scientific article; zbMATH DE number 4212191