Factorization properties of Chebyshev polynomials
Während die analytischen Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome \(T_n\) bzw. \(U_n\) erster bzw. zweiter Art sehr gut verstanden sind, gibt es bei den algebraischen noch zahlreiche offene Fragen. Der vorliegende Aufsatz befasst sich mit solchen algebraischen Eigenschaften, insbesondere mit verschiedenen Zerlegungseigenschaften der \(T_n\) bzw. \(U_n\) einschließlich Faktorisierung und Teilbarbeit. Bedingungen zur Bestimmung, wann ein Tschebyscheff-Polynom durch ein anderes teilbar ist, werden entwickelt. Auch wird gezeigt, dass der Rest bei Division eines \(T_n\) durch ein \(T_m\) (eventuell bis auf's Vorzeichen) wieder ein \(T_\ell\) ist, analog für die \(U\)'s. Diese Tatsache führt direkt zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier \(T\)'s (bzw. \(U\)'s). Außerdem wird die Zerlegung dieser Polynome über endlichen Körpern diskutiert: Zu gegebenem Tschebyscheff-Polynom eines Grades \(\geq 2\) werden zwei unendliche Mengen von Primzahlen \(p\) angegeben, so dass das vorgelegte Polynom über \(\mathbb{Z}_p\) in Linearfaktoren zerfällt. Verfahren zur expliziten Auffindung dieser Faktoren beschließen die Arbeit.
scientific article; zbMATH DE number 5002773