Algebraic independence of certain generalized Mahler type numbers
Es seien \(g,h\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) und \(A=\{a_n\}_{n\geq 0}\) bzw. \(T=\{t_n\}_{n\geq 0}\) unendliche Folgen in \(\mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\cup \{0\}\) bzw. in \(\mathbb{N}\). Die reelle Zahl \(M_h(g;A,T)\), in \(h\)-adischer Basis aufgeschrieben, werde dadurch definiert, daß man hinter dem Komma zuerst \((g^{a_0})\,\, t_0\)-mal, dann \((g^{a_1})\,\, t_1\)-mal usw. notiert, wobei \((g^{a_n})\) die in Basis \(h\) hingeschriebene Zahl \(g^{a_n}\) bedeuten soll. \textit{K. Mahler} [J. Number Theory 13, 268--269 (1981; Zbl 0453.10009)] hat im Fall \(t_n=1\) \((n\geq 0)\) die Irrationalität von \(M_{10}(g;A)\) für \(A=\{n\}\) bewiesen und damit zahlreiche weitere Untersuchungen angeregt. Verf. führt nun die Arbeit von \textit{P. Bundschuh, P. J. S. Shiue} und \textit{X. Y. Yu} [Publ. Math. 56, 121--130 (2000; Zbl 0999.11038)] über Transzendenz und algebraische Unabhängigkeit von Zahlen des Mahlerschen Typs im allgemeinen Fall fort, wo die Folge \(T\) nicht notwendig aus lauter Einsen besteht. Sein Hauptergebnis, dessen Beweis auf einem Approximationskriterium beruht, lautet wie folgt. Es seien \(g_1,\dots,g_s\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) paarweise verschieden und für jedes \(i\in \{1,\dots,s\}\) seien \(g_i,h_i\) multiplikativ abhängig, wobei auch die \(h_1,\dots,h_s\) aus \(\mathbb{N}\setminus\{1\}\) sind. Es gebe eine unendliche Teilfolge \(\mathcal{N}\) von \(\mathbb{N}\) mit \(t_n=1\) für alle \(n\in \mathcal{N}\) und \(A\) genüge bei \(n\rightarrow \infty\) der Bedingung \(\sum_{k=0}^n t_ka_k=\text{o}(a_{n+1})\). Dann sind die \(M_{h_i}(g_i;A,T)\) \((i=1,\dots,s)\) algebraisch unabhängig.
scientific article; zbMATH DE number 5079993