Algebraic independence of certain generalized Mahler type numbers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebraic independence of certain generalized Mahler type numbers
zbMATH Open document ID: 1101.11025
author: Yaochen Zhu
publication date: 2006-12-13T00:00:00Z
review text: Es seien \(g,h\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) und \(A=\{a_n\}_{n\geq 0}\) bzw. \(T=\{t_n\}_{n\geq 0}\) unendliche Folgen in \(\mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\cup \{0\}\) bzw. in \(\mathbb{N}\). Die reelle Zahl \(M_h(g;A,T)\), in \(h\)-adischer Basis aufgeschrieben, werde dadurch definiert, daß man hinter dem Komma zuerst \((g^{a_0})\,\, t_0\)-mal, dann \((g^{a_1})\,\, t_1\)-mal usw. notiert, wobei \((g^{a_n})\) die in Basis \(h\) hingeschriebene Zahl \(g^{a_n}\) bedeuten soll. \textit{K. Mahler} [J. Number Theory 13, 268--269 (1981; Zbl 0453.10009)] hat im Fall \(t_n=1\) \((n\geq 0)\) die Irrationalität von \(M_{10}(g;A)\) für \(A=\{n\}\) bewiesen und damit zahlreiche weitere Untersuchungen angeregt. Verf. führt nun die Arbeit von \textit{P. Bundschuh, P. J. S. Shiue} und \textit{X. Y. Yu} [Publ. Math. 56, 121--130 (2000; Zbl 0999.11038)] über Transzendenz und algebraische Unabhängigkeit von Zahlen des Mahlerschen Typs im allgemeinen Fall fort, wo die Folge \(T\) nicht notwendig aus lauter Einsen besteht. Sein Hauptergebnis, dessen Beweis auf einem Approximationskriterium beruht, lautet wie folgt. Es seien \(g_1,\dots,g_s\in \mathbb{N}\setminus\{1\}\) paarweise verschieden und für jedes \(i\in \{1,\dots,s\}\) seien \(g_i,h_i\) multiplikativ abhängig, wobei auch die \(h_1,\dots,h_s\) aus \(\mathbb{N}\setminus\{1\}\) sind. Es gebe eine unendliche Teilfolge \(\mathcal{N}\) von \(\mathbb{N}\) mit \(t_n=1\) für alle \(n\in \mathcal{N}\) und \(A\) genüge bei \(n\rightarrow \infty\) der Bedingung \(\sum_{k=0}^n t_ka_k=\text{o}(a_{n+1})\). Dann sind die \(M_{h_i}(g_i;A,T)\) \((i=1,\dots,s)\) algebraisch unabhängig.
reviewed by: Peter Bundschuh
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11J91
zbMATH DE Number: 5079993
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s10114-005-0766-3
OpenAlex ID: W2129358535
cites work: On some irrational decimal fractions
cites work: Q4953921
cites work: Algebraic independence by approximation method
cites work: Arithmetical properties of gap series with algebraic coefficients
DOI: 10.1007/S10114-005-0766-3
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published in: Acta Mathematica Sinica, English Series
description: scientific article; zbMATH DE number 5079993