Mahler measures in a field are dense modulo 1
Es sei \(\alpha\in\mathbb{C}\) (über \(\mathbb{Q}\)) algebraisch und \(P_\alpha(X)=\sum_{i=0}^d a_iX^i\) sein Minimalpolynom über \(\mathbb{Z}\); sind \(\alpha_1,\dots,\alpha_d\) sämtliche Nullstellen von \(P_\alpha\), so heißt \(M(\alpha):= |a_d|\prod_{j=1}^d \max(1,|\alpha_j|)\) das \textit{Mahlersche Maß\ von} \(\alpha\). Weiter sei \(\mathcal{M}:=\{\mu\in\mathbb{R}\): es gibt ein algebraisches \(\alpha\) mit \(M(\alpha)=\mu\}\) gesetzt. Nach einem älteren Resultat von R. Salem ist \(\mathcal{M}\) modulo 1 dicht in \([0,1]\). Verf. zeigt hier, daß\ dies Ergebnis schon unter Verwendung einer geeigneten Folge reell-quadratischer Zahlen bewiesen werden kann. Sein Hauptergebnis jedoch lautet folgendermaßen. Ist \(K\) ein algebraischer Zahlkörper, der weder \(\mathbb{Q}\) noch imaginär-quadratisch ist, so ist die Menge \(\{\mu\in\mathcal{M}: \text{ es gibt ein } \alpha\in K \text{ mit } M(\alpha)=\mu\}\) modulo 1 dicht in \([0,1]\). Noch stärker ist die Aussage, daß\ es ein \(\beta\in K\) (\(K\) wie soeben) gibt so, dass die Folge \((M(\gamma_k))_{k=1,2,\dots}\) modulo 1 in \([0,1]\) gleichverteilt ist, wobei \(\gamma_k:=(\beta+|P_\beta(1)|k)/(1+|P_\beta(1)|k)\) für \(k=1,2,\dots \) gesetzt ist.
scientific article; zbMATH DE number 5130244