An analog of the Paley-Wiener theorem for entire functions of the space \(W^p_\sigma\), \(1<p<2\), and some applications
Für reelle \(\sigma>0\) und \(p\in]1,2[\) bezeichne \(W_\sigma^p\) die Wiener-Klasse der ganzen Funktionen \(f\) vom Exponentialtyp \(\leq\sigma\) mit \(f| _\mathbb{R}\in L^p(\mathbb{R})\). Während der klassische Paley-Wienersche Satz Integraldarstellungen für \(f\in W_\sigma^2\) betrifft, beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit dem analogen Problem für \(f\in W_\sigma^p\), deren Hauptergebnis wie folgt lautet. Eine ganze Funktion \(f\) gehört dann und nur dann zu \(W_\sigma^p, \sigma>0, p\in ]1,2[\), wenn \(f\) in ganz \(\mathbb{C}\) eine Darstellung der Form \((2\pi)^{-1/2} \int_{-\sigma}^\sigma \psi(t)e^{itz}\,dt\) mit einem \(\psi\in L^{p/(p-1)}( -\sigma,\sigma)\) besitzt und wenn zusätzlich die Folge der Fourierkoeffizienten \(d_n:=(2\sigma)^{-1} \int_{-\sigma}^\sigma \psi(t)\cdot \, e^{-in\pi t/\sigma}\,dt\) \((n\in\mathbb{Z})\) von \(\psi\) zum Raum \(l^p\) gehört. Weiterhin ist \(f\) die eindeutige Lösung des Interpolationsproblems \(f(n\pi/\sigma)=d_{-n}\sigma (2/\pi)^{1/2} \,\,(n\in\mathbb{Z})\). Als Anwendungen werden für Funktionen \(f\in W_{\sigma}^p\) optimale obere Ab\-schätzungen für \(| f^{(k)}(z)|\) \((k=0,1,\dots; z\in\mathbb{R})\) gewonnen sowie die optimale Extrapolation aus einer vorgegebenen endlichen Teilmenge \(U\) von \(\mathbb{C}\) nach \(\mathbb{C}\setminus U\) untersucht.
scientific article; zbMATH DE number 5152627