On closedness assumptions in selection theorems
Cet article traite du problème suivant, posé par E. A. Michael. Soient \(X\) un espace paracompact, \(Y\) un \(G_\delta\) d'un espace de Banach \(B\) et \(F\) une fonction multivoque semi-continue inférieurement de \(X\) dans \(Y\). \(F\) a-t-elle une sélection continue si, pour tout \(x\in X\), \(F(x)\) est convexe et fermé dans \(Y\)? Cette question a été résolue négativement par \textit{V. A. Filippov} [Commentat. Math. Univ. Carol. 45, 735--737 (2004; Zbl 1097.54024)]. Dans l'exemple de Filippov, \(Y\) est un sous-ensemble du compact \(P[0,1]\) des mesures probabilistes sur \([0,1]\). Les auteurs construisent ici un nouveau contre-exemple, dans lequel \(Y\) est un sous-ensemble du cube de Hilbert. Dans une première partie de cet article, ils décrivent plusieurs cas particuliers où la réponse au problème de Michael est positive, l'espace de Banach \(B\) pouvant même, dans certains cas, être remplacé par un espace métrique linéaire complet arbitraire.
scientific article; zbMATH DE number 5167618
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