On a question of Gillespie
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a question of Gillespie
zbMATH Open document ID: 1347.18003
published in: Forum Mathematicum
publication date: 2015-11-09T00:00:00Z
review text: Soit \(\mathcal{G}\) une catégorie abélienne. Rappelons qu'une \textit{théorie de cotorsion} dans \(\mathcal{G}\) est un couple \((\mathcal{A},\mathcal{B})\) de classes d'objets de \(\mathcal{G}\) telles que \(\mathcal{A}^\perp=\mathcal{B}\) et \(^\perp\mathcal{B}=\mathcal{A}\), où \(\mathcal{A}^\perp\) (resp. \(^\perp\mathcal{B}\)) désigne la classe des objets \(X\) de \(\mathcal{G}\) tels que \(\text{Ext}^1_\mathcal{G}(T,X)=0\) (resp. \(\text{Ext}^1_\mathcal{G}(X,T)=0\)) pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{A}\) (resp. \(\mathcal{B}\)). Cette notion est fondamentale en algèbre homologique relative. Le lecteur pourra consulter [\textit{M. Hovey}, Math. Z. 241, No. 3, 553--592 (2002; Zbl 1016.55010)] pour une mise en perspective de cette notion dans le cadre des catégories de modèles. Notons \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) la catégorie abélienne des complexes de chaînes (sans aucune condition de borne) dans \(\mathcal{G}\). Si \(\mathcal{X}\) est une classe d'objets de \(\mathcal{G}\), on note \(\widetilde{\mathcal{X}}\) la classe des objets de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\), appelés \textit{\(\mathcal{X}\)-complexes}, qui sont exacts et dont les sous-objets de cycles appartiennent (en chaque degré) à \(\mathcal{X}\). On note également \(\mathrm{dg}_g(\mathcal{X})\) (resp. \(\mathrm{dg}_d(\mathcal{X})\)) la classe des complexes \(C\) tels que le complexe \(\mathbf{Hom}(C,X)\) (resp. \(\mathbf{Hom}(X,C)\)) soit exact pour tout \(\mathcal{X}\)-complexe \(X\). (L'article utilise la notation malencontreuse dg, sans précision d'indices, le contexte permettant de déterminer laquelle des deux variantes duales doit être utilisée ; la même observation vaut pour d'autres notations de l'article.) Ici, \(\mathbf{Hom}\) désigne le Hom interne de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) : \(\mathbf{Hom}(A,B)_n=\underset{i\in\mathbb{Z}}{\prod}\mathrm{Hom}_{\mathcal G}(A_i,B_{n+i})\), avec la différentielle usuelle. Ces notions sont dues à \textit{J. Gillespie} [Trans. Am. Math. Soc. 356, No. 8, 336…
Mathematics Subject Classification ID: 18E10
Mathematics Subject Classification ID: 18G35
Mathematics Subject Classification ID: 18G20
zbMATH DE Number: 6505800
zbMATH Keywords: abelian category
zbMATH Keywords: (complete, hereditary) cotorsion pair
zbMATH Keywords: (unbounded) chain complexes
zbMATH Keywords: homological dimension
author: Xiaoyan Yang
author: Nanqing Ding
reviewed by: Aurelien Djament
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: forum-2013-6014
OpenAlex ID: W2317796131
DOI: 10.1515/FORUM-2013-6014
description: scientific article; zbMATH DE number 6505800