On a question of Gillespie
Soit \(\mathcal{G}\) une catégorie abélienne. Rappelons qu'une \textit{théorie de cotorsion} dans \(\mathcal{G}\) est un couple \((\mathcal{A},\mathcal{B})\) de classes d'objets de \(\mathcal{G}\) telles que \(\mathcal{A}^\perp=\mathcal{B}\) et \(^\perp\mathcal{B}=\mathcal{A}\), où \(\mathcal{A}^\perp\) (resp. \(^\perp\mathcal{B}\)) désigne la classe des objets \(X\) de \(\mathcal{G}\) tels que \(\text{Ext}^1_\mathcal{G}(T,X)=0\) (resp. \(\text{Ext}^1_\mathcal{G}(X,T)=0\)) pour tout objet \(T\) de \(\mathcal{A}\) (resp. \(\mathcal{B}\)). Cette notion est fondamentale en algèbre homologique relative. Le lecteur pourra consulter [\textit{M. Hovey}, Math. Z. 241, No. 3, 553--592 (2002; Zbl 1016.55010)] pour une mise en perspective de cette notion dans le cadre des catégories de modèles. Notons \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) la catégorie abélienne des complexes de chaînes (sans aucune condition de borne) dans \(\mathcal{G}\). Si \(\mathcal{X}\) est une classe d'objets de \(\mathcal{G}\), on note \(\widetilde{\mathcal{X}}\) la classe des objets de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\), appelés \textit{\(\mathcal{X}\)-complexes}, qui sont exacts et dont les sous-objets de cycles appartiennent (en chaque degré) à \(\mathcal{X}\). On note également \(\mathrm{dg}_g(\mathcal{X})\) (resp. \(\mathrm{dg}_d(\mathcal{X})\)) la classe des complexes \(C\) tels que le complexe \(\mathbf{Hom}(C,X)\) (resp. \(\mathbf{Hom}(X,C)\)) soit exact pour tout \(\mathcal{X}\)-complexe \(X\). (L'article utilise la notation malencontreuse dg, sans précision d'indices, le contexte permettant de déterminer laquelle des deux variantes duales doit être utilisée ; la même observation vaut pour d'autres notations de l'article.) Ici, \(\mathbf{Hom}\) désigne le Hom interne de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) : \(\mathbf{Hom}(A,B)_n=\underset{i\in\mathbb{Z}}{\prod}\mathrm{Hom}_{\mathcal G}(A_i,B_{n+i})\), avec la différentielle usuelle. Ces notions sont dues à \textit{J. Gillespie} [Trans. Am. Math. Soc. 356, No. 8, 3369--3390 (2004; Zbl 1056.55011)], qui montre le résultat suivant : supposons que, dans une catégorie abélienne \(\mathcal{G}\), \((\mathcal{A},\mathcal{B})\) est une théorie de cotorsion possédant assez de projectifs (c'est-à-dire que, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{G}\), il existe une suite exacte \(0\to B\to A\to X\to 0\) avec \(A\) dans \(\mathcal{A}\) et \(B\) dans \(\mathcal{B}\)) et assez d'injectifs (c'est-à-dire que, pour tout objet \(X\) de \(\mathcal{G}\), il existe une suite exacte \(0\to X\to B\to A\to 0\) avec \(A\) dans \(\mathcal{A}\) et \(B\) dans \(\mathcal{B}\)), alors \((\widetilde{\mathcal{A}},\mathrm{dg}_d(\mathcal{B}))\) et \((\mathrm{dg}_g(\mathcal{A}),\widetilde{\mathcal{B}})\) sont des théories de cotorsion dans \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\). Répondant à une question de l'article susmentionné de Gillespie, le présent travail établit le résultat suivant. Théorèmes 2.4 et 2.5. Soient \(\mathcal{G}\) une catégorie abélienne possédant des produits et des sommes directes arbitraires et \((\mathcal{A},\mathcal{B})\) une théorie de cotorsion dans \(\mathcal{G}\), complète (c'est-à-dire possédant assez de projectifs et d'injectifs) et héréditaire (c'est-à-dire telle que \(\text{Ext}^i_\mathcal{G}(A,B)=0\) pour tout entier \(i\geq 1\) et tous objets \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) respectivement). Alors les théories de cotorsion \((\widetilde{\mathcal{A}},\mathrm{dg}_d(\mathcal{B}))\) et \((\mathrm{dg}_g(\mathcal{A}),\widetilde{\mathcal{B}})\) de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) sont complètes. De plus, ces deux théories de cotorsion sont compatibles au sens où \(\widetilde{\mathcal{A}}=\mathrm{dg}_g(\mathcal{A})\cap\mathcal{E}\) et \(\widetilde{\mathcal{B}}=\mathrm{dg}_d(\mathcal{B})\cap\mathcal{E}\), \(\mathcal{E}\) désignant la classe des complexes exacts. (Cette notion de compatibilité apparaît dans Gillespie, [loc. cit.]; le lecteur prendra garde que les auteurs omettent de rappeler la signification de \(\mathcal{E}\).) Dans la section 3 du présent travail, ce résultat est utilisé pour étudier des notions relatives de dimension homologique, introduites par \textit{L. L. Avramov} and \textit{H.-B. Foxby} [J. Pure Appl. Algebra 71, No. 2--3, 129--155 (1991; Zbl 0737.16002)]. Pour cela, on définit d'abord \(\mathcal{J}-\dim_{\mathrm{inj}}(X)\), lorsque \(\mathcal{J}\) est une classe d'objets et \(X\) un objet d'une catégorie abélienne \(\mathcal{G}\), comme l'infimum sur les complexes \(A\) de \(\mathcal{J}\) quasi-isomorphes à \(X\) de \(\sup\{n\in\mathbb{Z}\,|\,A_n\neq 0\}\). Cette notion s'applique en particulier aux objets de \(\mathcal{G}\), vus comme complexes concentrés en degré \(0\). L'un des résultats principaux est le suivant, peu surprenant mais non trivial : Corollaire 3.5. Soient \(\mathcal{G}\) une catégorie de Grothendieck, \(\mathcal{J}\) la classe des objets injectifs de \(\mathcal{G}\) et \(X\) un objet de \(\mathcal{G}\). Alors \(\mathrm{injdim}(X)=\mathcal{J}-\dim_{\mathrm{inj}}(X)\). (Ici, \(\mathrm{injdim}(X)\) désigne la dimension injective usuelle de \(X\) dans \(\mathcal{G}\), caractérisée par l'équivalence entre les conditions \(\mathrm{injdim}(X)\leq n\) et \(\text{Ext}^i(-,X)=0\) pour \(i>n\). La difficulté à établir ce résultat provient bien sûr de ce que les complexes de \(\mathbf{Ch}(\mathcal{G})\) ne sont, en général, bornés ni à droite ni à gauche.) Dans la dernière section, les auteurs donnent des résultats permettant des constructions générales de théories de cotorsion héréditaires et complètes. Citons l'un des principaux : Proposition 3.8. Soient \(\mathcal{G}\) une catégorie de Grothendieck localement de présentation finie et \(\mathcal{F}\) la classe des objets plats de \(\mathcal{G}\). Supposons que \(\mathcal{F}\) contient un générateur de \(\mathcal{G}\). Alors \((\mathcal{F},\mathcal{F}^\perp)\) est une théorie de cotorsion héréditaire et complète. (Rappelons quelques définitions : un objet \(X\) d'une catégorie abélienne \(\mathcal{G}\) est \textit{de présentation finie} si le foncteur \(\text{Hom}(X,-)\) commute aux colimites filtrantes ; \(\mathcal{G}\) est dite \textit{localement de présentation finie} si elle possède un ensemble de générateurs ayant cette propriété. Un objet \(T\) de \(\mathcal{G}\) est dit \textit{plat} si pour tout épimorphisme \(S\twoheadrightarrow T\) et tout objet \(X\) de \(\mathcal{G}\) de présentation finie, le morphisme de groupes abéliens \(\text{Hom}(X,S)\to \text{Hom}(X,T)\) est surjectif.)
scientific article; zbMATH DE number 6505800