Solvability in distributions for a class of singular differential operators. I
La résolubilité locale pour les opérateurs de Fuchs a été étudiée par un grand nombre d'auteurs [l'auteur, Algebraic analysis, Pap. Dedicated to Prof. Mikio Sato on the Occas. of his Sixtieth Birthday, Vol. 2, 837-848 (1989) et sa bibliographie]. Dans ce travail il s'agit d'un théorème de locale résolubilité pour une classe d'opérateurs hyperboliques (non de Fuchs) \[ P=(t\partial_ t)^ m+\sum a_{j,\alpha}(t,x)(t\partial_ t)^ i\partial_ x^{\alpha}, \] (où, ici et dans la suite, la \(\sum\) est pour \(j+| \alpha 3/\leq m\), \(j<m)\), avec \((t,x)\in R_ t\times R^ n_ x\), \(\partial_ t=\partial /\partial t\), \(m\in \{1,2,...,\}\), \(\alpha =(\alpha_ 1,...,\alpha_ n)\in \{0,1,...\}^ n\), \(| \alpha | =\alpha_ 1+...+\alpha_ n\), \(\partial_ x^{\alpha}=(\partial /\partial x_ 1)^{\alpha_ 1}...(\partial /\partial x_ n)^{\alpha_ n}.\) Les coefficients \(a_{j,\alpha}(t,x)\) sont des fonctions \(C^{\infty}\) définies dans un voisinage ouvert U de (0,0) en \(R_ t\times R^ n_ x\). Pour (t,x)\(\in U\) et \(\xi \in R^ n_{\xi}\setminus \{0\}\), \(\lambda_ i(t,x,\xi)\), \((i=1,...,m)\) sont les racines de l'équation \(\lambda^ m+\sum a_{j,\alpha}(t,x)\lambda^ j\xi^{\alpha}=0\), et sont satisfaites les trois conditions: \(\lambda_ i(t,x,\xi)\) est réelle pour \(1\leq i\leq m\); \(\lambda_ i(...)\neq \lambda_ j(...)\) pour \(1\leq i\neq j\leq m\); \(\lambda_ i(...)\neq 0\), pour \(1\leq i\leq m\). Après celà l'auteur démontre qu'il y a un voisinage ouvert V de (0,0) en \(R_ t\times R^ n_ x\), tel que pour chaque f(t,x)\(\in {\mathcal D}'(\bar V)\) il y a une u(t,x)\(\in {\mathcal D}'(\bar V)\), pour la quelle \(Pu=f\) dans V.
scientific article; zbMATH DE number 4134637