The Lindelöf principle and the angular derivative in strongly convex domains
Soient: \(\Delta\) le disque-unité ouvert dans \({\mathbb{C}}\); D un domaine borné strictment convexe dans \({\mathbb{C}}^ n\); \(k_ D\) la distance invariante de Carathéodory-Kobayashi dans D. Pour étendre à D le lemme classique de Lindelöf pour \(\Delta\), où l'hypothèse est que f, holomorphe et bornée sur \(\Delta\), a une limite suivant un arc aboutissant à un point de \(\partial \Delta\), on suppose que f, holomorphe et bornée sur D, a une limite suivant un arc \(\gamma\) : [0,1]\(\to \bar D\), [0,1[\(\to D\), \(\gamma (1)=x\in \partial D\), tel en outre que (1) \(k_ D[\gamma (t),p_ x\circ \gamma (t)]\to 0\) quand \(t\to 1\), où \(p_ x\) est une rétraction holomorphe de D sur \(\phi_ x(\Delta)\) et \(\phi_ x\) une géodésique complexe \({\bar \Delta}\to \bar D\), \(\Delta\) \(\to D\), \(\phi_ x(1)=x\); la conclusion est que f a la même limite suivant tout autre arc \(\gamma\) aboutissant au même point x, vérifiant (1) et tel que l'arc \(\phi_ x^{-1}\circ p_ x\circ \gamma\) dans \(\Delta\) aboutisse non-tangentiellement au point 1. Pour étendre à D le lemme classique de Julia-Carathéodory pour \(\Delta\), où l'hypothèse est que f holomorphe \(\Delta\) \(\to \Delta\) vérifie \(\liminf_{\zeta \to x}[1-| f(\zeta)|]/(1-| \zeta |)<\infty\) pour un point \(x\in \partial \Delta\), on suppose que f holomorphe \(D\to D\) vérifie \(\liminf_{z\to x}[k_ D(z_ 0,z)-k_ D(z_ 0,f(z))]<\infty\) pour un \(z_ 0\in D\) et un \(x\in \partial D\); entre autres conclusions, il existe \(y\in \partial D\) tel que, suivant les mêmes arcs \(\gamma\) que ci-dessus: f a pour limite y, \((1-\phi_ y^{-1}\circ p_ y\circ f)/(1-\phi_ x^{-1}\circ p_ x)\) a une limite \(\in {\mathbb{C}}\) et \((f-p_ y\circ f)/| 1-\phi_ x^{-1}\circ p_ x|^{1/2}\) la limite 0.
scientific article; zbMATH DE number 4136340
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