Equivalence of regularity for the Bergman projection and the \({\bar \partial}\)-Neumann operator
Für das beschränkte pseudokonvexe Gebiet \(G\subset {\mathbb{C}}^ n\) mit \(C^{\infty}\)-glattem Rand seien \(P_ q\) bzw. \(N_ q\) der Bergman- Projektor bzw. der \({\bar \partial}\)-Neumann-Operator für q-Formen. Vorliegende Arbeit vergleicht nun Regularitätseigenschaften beider Operatoren. Es wird z.B. gezeigt, daß \(N_ q\) (1\(\leq q\leq n)\) genau dann global regulär ist, wenn gleichzeitig \(P_{q-1}\), \(P_ q\) und \(P_{q+1}\) diese Eigenschaft haben. Hier meint ``global regulär'', daß Formen mit \(C^{\infty}(\bar G)\)-Koeffizienten auf ebensolche abgebildet werden. Der Beweis basiert auf den Arbeiten von J. J. Kohn über das \({\bar \partial}\)-Neumann Problem mit Gewichten, indem \(N_ q\) durch \(P_{q- 1}\), \(P_ q\), \(P_{q+1}\), \(N_{t,q}\), \(N_{t,q+1}\) bzw. \(P_{q-1}\), \(P_ q\) und \(P_{q+1}\) durch \(N_ q\), \(P_{t,q-1}\), \(P_{t,q+1}\) explizit dargestellt werden. Dabei bezeichnen \(P_{t,q}\) bzw. \(N_{t,q}\) die entsprechenden Operatoren wie oben für die gewichteten Räume mit Gewicht \(w_ t(z)=\exp (-t| z|^ 2)\).
scientific article; zbMATH DE number 4138152