On the foundations of polar geometry. II
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the foundations of polar geometry. II
zbMATH Open document ID: 0695.51005
DOI: 10.1007/BF00147597
published in: Geometriae Dedicata
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
review text: In Fortsetzung einer Arbeit der Verf. und \textit{E. Shult} [ibid. 3, 155- 170 (1974; Zbl 0286.50004)] untersucht Verf. Polarräume mit nicht notwendig endlichem Rang: Ein Linienraum (line space) ist eine Struktur \(S=({\mathcal P},{\mathcal L})\) mit \({\mathcal L}\subset {\mathfrak P}{\mathcal P}\) und \(| \ell | \geq 2\) für \(\ell \in {\mathcal L}\). Ein \(U\subseteq {\mathcal P}\) mit \(\ell \subset {\mathcal L}\), (\(\ell \wedge U)\geq 2\) \(\Rightarrow\) \(\ell \subseteq U\) heißt Unterraum. Er heißt singulär, wenn es für \(p,q\in U\) mit \(p\neq q\) genau ein \(\ell \in {\mathcal L}\) mit \(p,q\in \ell \subseteq U\) gibt. Ein Linienraum heißt Polarraum (polar space), wenn jedes \(p\in {\mathcal P}\) mit \(p\not\in \ell \in {\mathcal L}\) zu genau einem oder allen Punkten aus \(\ell\) kollinear und kein Punkt zu allen anderen Punkten kollinear ist. Verf. zeigt, daß jeder singuläre Unterraum eines Polarraumes projektiv ist. Der Rang eines Polarraumes ist das Supremum der Dimensionen aller singulären Unterräume. Direkte Summen von Polarräumen werden in naheliegender Weise definiert. Ist ein Polarraum reduzibel, also nichttriviale direkte Summe von Polarräumen, so gibt es in ihm \(\ell \in {\mathcal L}\) mit genau zwei Punkten, die Umkehrung gilt aber nicht (im Gegensatz zu den spezielleren projektiven Räumen).
Mathematics Subject Classification ID: 51B05
zbMATH DE Number: 4138658
zbMATH Keywords: rang
zbMATH Keywords: polar space
author: Francis Buekenhout
reviewed by: Johannes André
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf00147597
OpenAlex ID: W2092301936
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description: scientific article; zbMATH DE number 4138658