Algebraic independence of certain numbers related to Liouville numbers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Algebraic independence of certain numbers related to Liouville numbers
zbMATH Open document ID: 0697.10029
author: Yaochen Zhu
author: Michel Waldschmidt
published in: Science in China. Series A
publication date: 1990-01-01T00:00:00Z
review text: Reprenant une méthode de D. Morduchai-Boltowskoi les auteurs développent divers résultats d'indépendance algébrique basés sur la propriété de bonne approximation des nombres de Liouville. Les nombres de Liouville apparaissant ici, sont des nombres complexes \(\eta\) tels qu'il existe une infinité de rationnels \(p/q\) satisfaisant: \[ 0<| \eta q-p| <\exp (-q^ a(\log q)^ b \tau (q)) \] où \(a,b\geq 0\) et \(\tau\) est une fonction croissante. Considérons \(\alpha_ 1,...,\alpha_ m\in {\bar{\mathbb Q}}\) multiplicativement indépendant et \(\alpha,\beta\in {\bar{\mathbb Q}}\) différents de \(0,1\). Alors si \(\eta\) est de Liouville (avec \(a=4m+4\), \(b=0\)) les nombres \[ \eta,\alpha^{\eta}_ 1,...,\alpha^{\eta}_ m,\alpha^{\beta^{\eta}} \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q\). Si \(\wp\) est une fonction elliptique de Weierstrass définie sur \({\bar {\mathbb Q}}\) et \(u\neq 0\) est un point algébrique de \(\wp\) tel que \(\beta^{\eta}u\) ne soit pas pôle de \(\wp\), alors les nombres \[ \eta,\alpha^{\eta}_ 1,...,\alpha^{\eta}_ m,\wp (\beta^{\eta}u) \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q\). Si \(\eta_ 1,...,\eta_ s\) sont des nombres de Liouville \(\mathbb Q\)--linéairement indépendants, alors les nombres \[ \alpha_ 1^{\eta_ 1},...,\alpha_ m^{\eta_ s}, \quad e^{\eta_ 1},...,e^{\eta_ s} \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q(\eta_ 1,...,\eta_ s)\). Les démonstrations reposent sur un résultat élémentaire de théorie de Kummer ou sur des mesures de transcendance.
reviewed by: Patrice Philippon
Mathematics Subject Classification ID: 11J85
Mathematics Subject Classification ID: 11J89
Mathematics Subject Classification ID: 11J82
zbMATH DE Number: 4142127
zbMATH Keywords: Liouville number
zbMATH Keywords: Kummer theory
zbMATH Keywords: transcendence measure
zbMATH Keywords: algebraic independence
zbMATH Keywords: Weierstrass elliptic function
zbMATH Keywords: exponential function
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 4142127