Algebraic independence of certain numbers related to Liouville numbers
Reprenant une méthode de D. Morduchai-Boltowskoi les auteurs développent divers résultats d'indépendance algébrique basés sur la propriété de bonne approximation des nombres de Liouville. Les nombres de Liouville apparaissant ici, sont des nombres complexes \(\eta\) tels qu'il existe une infinité de rationnels \(p/q\) satisfaisant: \[ 0<| \eta q-p| <\exp (-q^ a(\log q)^ b \tau (q)) \] où \(a,b\geq 0\) et \(\tau\) est une fonction croissante. Considérons \(\alpha_ 1,...,\alpha_ m\in {\bar{\mathbb Q}}\) multiplicativement indépendant et \(\alpha,\beta\in {\bar{\mathbb Q}}\) différents de \(0,1\). Alors si \(\eta\) est de Liouville (avec \(a=4m+4\), \(b=0\)) les nombres \[ \eta,\alpha^{\eta}_ 1,...,\alpha^{\eta}_ m,\alpha^{\beta^{\eta}} \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q\). Si \(\wp\) est une fonction elliptique de Weierstrass définie sur \({\bar {\mathbb Q}}\) et \(u\neq 0\) est un point algébrique de \(\wp\) tel que \(\beta^{\eta}u\) ne soit pas pôle de \(\wp\), alors les nombres \[ \eta,\alpha^{\eta}_ 1,...,\alpha^{\eta}_ m,\wp (\beta^{\eta}u) \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q\). Si \(\eta_ 1,...,\eta_ s\) sont des nombres de Liouville \(\mathbb Q\)--linéairement indépendants, alors les nombres \[ \alpha_ 1^{\eta_ 1},...,\alpha_ m^{\eta_ s}, \quad e^{\eta_ 1},...,e^{\eta_ s} \] sont algébriquement indépendants sur \(\mathbb Q(\eta_ 1,...,\eta_ s)\). Les démonstrations reposent sur un résultat élémentaire de théorie de Kummer ou sur des mesures de transcendance.
scientific article; zbMATH DE number 4142127