Über geschlossene sphärische Kurven. (On closed spherical curves)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über geschlossene sphärische Kurven. (On closed spherical curves)
zbMATH Open document ID: 0699.53003
author: Helmut Pottmann
published in: Elemente der Mathematik
publication date: 1987-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/141401
review text: Die feste Einheitskugel \(\Omega '\) des euklidischen \(R_ 3\) sei von der beweglichen Kugelschale \(\Omega\) überdeckt. Dann definiert die Kurve \(c_ 1\in \Omega '\) eine sphärische Begleitbewegung \(B(c_ 1)\), bei der der Punkt \(E_ 1\in \Omega\) mit dem Vektor \(e_ 1(t)\) die Kurve \(c_ 1\) so durchläuft, daß sie stets einen in \(\Omega\) festen Großkreis k in \(E_ 1(t)\) berührt. Man erhält ein orthonormiertes Dreibein \(e_ 1,e_ 2,e_ 3\) mit \(e_ 1\in k\) und \(e_ 2\in k\). Die Begleitbewegung \(B(e_ 1)\) längs einer geschlossenen Kurve \(c_ 1\) ist nur dann geschlossen, wenn \(c_ 1\) eine gerade Anzahl von Spitzen besitzt, andernfalls muß man \(c_ 1\) doppelt durchlaufen. Es gelten schiefsymmetrische Ableitungsgleichungen \(\dot e_ 1=\lambda e_ 2,\) \(\dot e_ 2=-\lambda e_ 1+\mu e_ 3,\) \(\dot e_ 3=-\mu e_ 2,\) die mit dem Darbouxschen Drehvektor \(d=\mu e_ 1+\lambda e_ 3\) auch so lauten: \(\dot e_ i=d\times e_ i.\)- Mit diesem einfachen Apparat gelingt es, die Flächeninhalte der Parallelrisse der Bahnkurven geschlossener sphärischer Begleitbewegungen zu bestimmen und verschiedene bemerkenswerte Eigenschaften zu gewinnen. Von Interesse sind dabei u.a. auch die sphärischen Kurven konstanter Breite, insbesondere jene der Breite \(\pi\) /2.
Mathematics Subject Classification ID: 53A04
zbMATH DE Number: 4146980
zbMATH Keywords: Frenet frame
zbMATH Keywords: spherical curve
zbMATH Keywords: projections
zbMATH Keywords: constant width
zbMATH Keywords: kinematics
reviewed by: Karl Strubecker
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 4146980