Profinite Frobenius groups and related imbedding problems
type: Item
instance of: scholarly article
title: Profinite Frobenius groups and related imbedding problems
zbMATH Open document ID: 0701.11057
DOI: 10.1007/BF02941368
author: Norbert Klingen
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1988-01-01T00:00:00Z
review text: L'auteur regarde le problème inverse de la théorie de Galois pour les groupes de Frobenius profinis comme un problème de plongement à noyau pronilpotent. Partant du théoreme de structure de \textit{D. Gildenhuys}, \textit{W. Herfort} and \textit{L. Ribes} [C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. 1, 319- 322 (1979; Zbl 0453.20022)] qui affirme que tout groupe de Frobenius profini \(G=H\ltimes U\) est limite projective de groupes de Frobenius finis \(G_ i=H_ i\ltimes U\) ayant même complément U, et s'appuyant sur le résultat de \textit{J. Sonn} [Can. J. Math. 32, 281-293 (1980; Zbl 0436.12006)] qui réalise tout groupe de Frobenius fini et donc tout tel complément U comme groupe de Galois Gal(K/\({\mathbb{Q}})\) sur \({\mathbb{Q}}\), il donne des théorèmes complets dans deux directions importantes: (i) Lorsque le noyau de Frobenius H admet un exposant impair, auquel cas s'aidant des résultats de \textit{J. Neukirch} [Invent. Math. 53, 135-164 (1979; Zbl 0447.12008)], l'auteur montre que le problème du plongement est toujours résoluble avec K totalement réel (th. 3). (ii) Lorsque H au contraire est un \({\mathbb{Z}}_ p\)-module sans torsion (nécessairement de type fini), auquel cas c'est un \({\mathbb{Z}}_ p[U]\)- module projectif de caractère \(\sum\) \(m_{\chi}\chi\), le problème du plongement est résoluble, sous la conjecture de Leopoldt dans K, si et seulement si on a l'inégalité \(m_{\chi}<\chi,\chi,>\leq (\deg \chi - \chi (\tau))\) pour chaque caractère p-adique irréductible du groupe U, \(\tau\in U\) désignant soit l'identité de U, si K est totalement réel, soit l'unique élément d'ordre 2 de U dans les autres cas (th. 4).
Mathematics Subject Classification ID: 11R32
Mathematics Subject Classification ID: 20E18
zbMATH DE Number: 4148219
zbMATH Keywords: imbedding problems
zbMATH Keywords: inverse problem of Galois theory
zbMATH Keywords: profinite Frobenius groups
zbMATH Keywords: Galois groups
MaRDI profile type: Publication
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full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02941368
OpenAlex ID: W2169348166
description: scientific article; zbMATH DE number 4148219