Liouville-type and uniqueness results for a class of sixth-order elliptic equations
type: Item
instance of: scholarly article
title: Liouville-type and uniqueness results for a class of sixth-order elliptic equations
zbMATH Open document ID: 0702.35071
DOI: 10.1016/0022-247X(89)90131-5
author: Sulbha Goyal
author: Vinod Goyal
published in: Journal of Mathematical Analysis and Applications
publication date: 1989-01-01T00:00:00Z
review text: Die Autoren betrachten im ersten Teil ihrer Arbeit lineare elliptische Differentialgleichungen sechster Ordnung der Form \[ (*)\quad \Delta^ 3u-a\Delta^ 2u+b\Delta u-cu=0 \] mit konstanten Koeffizienten a,b,c, die der Relation ab\(\geq c\) genügen. Sie zeigen einen Eindeutigkeitssatz für Lösungen der Randwertaufgabe \(u| \partial \Omega =f\), \(\Delta u| \partial \Omega =g\), \(\Delta^ 2u| \partial \Omega =h\) in einem Gebiet \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n.\) Damit übertragen sie ein Resultat von \textit{P. W. Schaefer} [Z. Angew. Math. Phys. 29, 693-697 (1978; Zbl 0383.35019), Theorem 1] auf den Fall \(n>2.\) Unter der Zusatzvoraussetzung \(c>0\) können sie für ganze Lösungen \(u\in C^ 6({\mathbb{R}}^ n)\) folgende Liouville-Eigenschaft zeigen: Sind \(u,\Delta u,\Delta^ 2u\) beschränkt in \({\mathbb{R}}^ n\), so gilt \(u\equiv 0.\) Im Spezialfall \(n=2\) können die Autoren (*) auch unter anderen Voraussetzungen behandeln. Bewiesen werden die Resultate durch Verwendung von Hilfsfunktionen, die als subharmonisch erkannt werden und der Mittelwerteigenschaft subharmonischer Funktionen. Im zweiten Teil wird (*) mit entsprechenden Methoden unter stärkeren Strukturbedingungen an den nun als variabel zugelassenen Koeffizienten a,b,c untersucht. In der Formulierung ihrer Arbeit sind den Autoren einige kleine Ungenauigkeiten unterlaufen, so sollte es z.B. in Theorem 1 \(ab\geq c>0\) oder in (3.6) \(\Delta\) (1/(P-1))\(\leq 0\) heißen.
Mathematics Subject Classification ID: 35J30
Mathematics Subject Classification ID: 35J40
Mathematics Subject Classification ID: 35B99
zbMATH DE Number: 4150810
zbMATH Keywords: Liouville property
zbMATH Keywords: uniqueness
zbMATH Keywords: sixth order equation
zbMATH Keywords: mean value property
reviewed by: Hans-Christoph Grunau
MaRDI profile type: Publication
cites work: Liouville theorems for a class of fourth order elliptic equations
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description: scientific article; zbMATH DE number 4150810