Liouville-type and uniqueness results for a class of sixth-order elliptic equations
Die Autoren betrachten im ersten Teil ihrer Arbeit lineare elliptische Differentialgleichungen sechster Ordnung der Form \[ (*)\quad \Delta^ 3u-a\Delta^ 2u+b\Delta u-cu=0 \] mit konstanten Koeffizienten a,b,c, die der Relation ab\(\geq c\) genügen. Sie zeigen einen Eindeutigkeitssatz für Lösungen der Randwertaufgabe \(u| \partial \Omega =f\), \(\Delta u| \partial \Omega =g\), \(\Delta^ 2u| \partial \Omega =h\) in einem Gebiet \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n.\) Damit übertragen sie ein Resultat von \textit{P. W. Schaefer} [Z. Angew. Math. Phys. 29, 693-697 (1978; Zbl 0383.35019), Theorem 1] auf den Fall \(n>2.\) Unter der Zusatzvoraussetzung \(c>0\) können sie für ganze Lösungen \(u\in C^ 6({\mathbb{R}}^ n)\) folgende Liouville-Eigenschaft zeigen: Sind \(u,\Delta u,\Delta^ 2u\) beschränkt in \({\mathbb{R}}^ n\), so gilt \(u\equiv 0.\) Im Spezialfall \(n=2\) können die Autoren (*) auch unter anderen Voraussetzungen behandeln. Bewiesen werden die Resultate durch Verwendung von Hilfsfunktionen, die als subharmonisch erkannt werden und der Mittelwerteigenschaft subharmonischer Funktionen. Im zweiten Teil wird (*) mit entsprechenden Methoden unter stärkeren Strukturbedingungen an den nun als variabel zugelassenen Koeffizienten a,b,c untersucht. In der Formulierung ihrer Arbeit sind den Autoren einige kleine Ungenauigkeiten unterlaufen, so sollte es z.B. in Theorem 1 \(ab\geq c>0\) oder in (3.6) \(\Delta\) (1/(P-1))\(\leq 0\) heißen.
scientific article; zbMATH DE number 4150810
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