Mock Heegner points and congruent numbers
Bekanntlich läßt sich die Frage, ob \(N\) eine ``kongruente Zahl'' ist, auf die Existenz rationaler Punkte auf der elliptischen Kurve \(NV^ 2=U^ 3-U\) zurückspielen [\textit{J. B. Tunnell}, Invent. Math. 72, 323--334 (1983; Zbl 0515.10013)]. In der vorliegenden Arbeit wird die Existenz solcher Punkte für eine Reihe von Werten \(N=p, 2p, pq, 2pq\) gezeigt, wobei \(p\) und \(q\) ungerade Primzahlen sind, die gewissen Kongruenzbedingungen modulo 8 unterliegen. Die Konstruktion verwendet Modulformen, welche die elliptische Kurve \(V^ 2=U^ 3-U\) parametrisieren, und wertet diese an imaginär-quadratischen Punkten aus; eine geschickt gewählte Linearkombination dieser Punkte ergibt auf der isogenen elliptischen Kurve \(NV^ 2=U^ 3-U\) einen rationalen Punkt, der sich in günstigen Fällen als Nicht-Torsions-Punkt erweist. Der Ausdruck ``mock'' im Titel der Arbeit weist darauf hin, daß es sich nicht um die gleiche Heegner-Punkt-Konstruktion wie bei Gross und Zagier handelt.
existence of rational points on elliptic curve
scientific article; zbMATH DE number 4156631